Determinar, caso exista, o ponto de intersecção das retas:
\mathbf{r}_{1}:\left\{\begin{array}{c} y=2 x-3 \\\ z=-x-10 \end{array} \quad \text { e } \quad \mathbf{r}_{2}: x=\frac{y-4}{3} .\right.

Passo 1

O enunciado dá a reta \mathbf r_1\) no espaço por \[\begin{cases} y = 2x - 3,\\\ z = -x - 10, \end{cases}
e a equação
x \;=\;\frac{y - 4}{3}.
Note que uma única equação linear em (x,y,z)\] define um plano no espaço. Então o problema é calcular o ponto de interseção da reta \(\mathbf r_1 com o plano
x = \tfrac{y-4}{3}.
Para isso, vamos: (i) parametrizar \mathbf r_1, (ii) reescrever o plano em forma geral, (iii) substituir a parametrização na equação do plano e (iv) obter o ponto.

Passo 2

Parametrizamos \mathbf r_1 usando x = t. Então
x(t) = t, \quad y(t) = 2t - 3, \quad z(t) = -t - 10.
Esse é o ponto genérico \bigl(t,\,2t-3,\,-t-10\bigr) sobre \mathbf r_1.

Passo 3

Reescrevemos o plano
x = \frac{y - 4}{3}
na forma geral 3x - y + 4 = 0. Esse é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem 3x - y + 4 = 0.

Passo 4

Substituímos a parametrização de \mathbf r_1 na equação 3x - y + 4 = 0:
3\bigl(t\bigr)\;-\;\bigl(2t - 3\bigr)\;+\;4 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad 3t - 2t + 3 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t + 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -7.

Passo 5

Com t = -7, o ponto na reta \mathbf r_1 é
x = -7, \quad y = 2(-7) - 3 = -14 - 3 = -17, \quad z = -(-7) - 10 = 7 - 10 = -3.
Esse ponto também satisfaz 3x - y + 4 = 0, logo é a interseção.

Resposta

O ponto de interseção é \bigl(-7,\,-17,\,-3\bigr).

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