Determine os valores de a e b para que as retas:
\mathbf{r}:\left\{\begin{array} { c } { x = 1 + a t } \\\ { y = 2 + b t } \\\ { z = - 1 + 2 t } \end{array} \text { e s: } \left\{\begin{array} { c } { x = 2 + t } \\\ { y = 1 + b t } \\\ { z = - 1 + 2 t } \end{array} \text { sejam: } \left\{\begin{array}{c} a) \text { paralelas } ; \\\ b) \text { concorrentes; } \\\ c) \text { reversas. } \end{array}\right.\right.\right.

Passo 1

O enunciado dá as retas
\mathbf{r}:\begin{cases} x=1+a t,\\\ y=2+b t,\\\ z=-1+2t \end{cases} \quad\text{e}\quad \mathbf{s}:\begin{cases} x=2+u,\\\ y=1+b u,\\\ z=-1+2u \end{cases}
Precisamos estudar três casos: (a) paralelas, (b) concorrentes (intersectam), (c) reversas (nem paralelas nem concorrentes). Para isso, vamos extrair vetores direção e ponto de cada reta.

Passo 2

O vetor direção de \mathbf{r} é
\mathbf{v}_r=(a,b,2)
e o de \mathbf{s} é
\mathbf{v}_s=(1,b,2).
Duas retas são paralelas se e somente se seus vetores direção são proporcionais, isto é, existe \lambda tal que
(a,b,2)=\lambda\,(1,b,2).
Comparando componentes:
2=2\lambda\implies \lambda=1,\quad a=\lambda\implies a=1,\quad b=\lambda\,b\\ (\text{sempre verdade}).
Logo, as retas são paralelas exatamente quando
a=1,
sem restrição sobre b.

Passo 3

Para verificar se são concorrentes, igualamos as coordenadas de \mathbf{r}(t) e \mathbf{s}(u):
1+a t=2+u, \quad 2+b t=1+b u, \quad -1+2t=-1+2u.
Da terceira equação vem t=u. Substituindo nas duas primeiras:
1+a t=2+t\implies (a-1)t=1\implies t=\frac1{a-1}\quad(a\neq1),
2+b t=1+b t\implies 2=1,
que é impossível. Concluímos que NÃO EXISTE par (a,b) que faça as retas se intersectarem.

Passo 4

As retas são reversas (skew) quando não são paralelas e nem concorrentes. Já vimos que não há caso concorrente, e que são paralelas apenas se a=1. Portanto, elas serão reversas sempre que
a\neq1,
sem outra restrição sobre b.

Resposta

a) a=1, qualquer b.
b) não existem valores de a e b.
c) a\neq1, qualquer b.

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