Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^prime-y=sen t ; y(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem:
y^prime - y = sin t com y(0) = 0
Pra resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais, entender as propriedades dela e como fazer a transformada inversa no final para encontrar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é representada por $ \mathcal{L}{f(t)} $ e vamos denotar a transformada de $ y(t) $ como $ Y(s) $. Aplicando a transformada na equação, temos:
f(t)

Passo 3

Agora, vamos lembrar de como transformar a derivada. A transformada de Laplace da derivada de $ y(t) $ é:
y(t)
Como $ y(0) = 0 $, isso simplifica para:
Ly^prime = sY(s) - y(0)
Substituindo de volta na equação:
y(0) = 0

Passo 4

Precisamos agora saber qual é a transformada de $ \sin t $. Sabemos que:
sin t
No nosso caso, $ a = 1 $, então:
Lsin at = as^2 + a^2
Substituindo isso na equação:
a = 1

Passo 5

Vamos fatorar $ Y(s) $ do lado esquerdo:
Y(s)
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)(s - 1) = 1s^2 + 1

Passo 6

Para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de $ Y(s) $. Primeiro, vamos decompor em frações parciais:
y(t)
Resolvendo para $ A $, $ B $ e $ C $, encontramos:
Y(s)
Então, temos:
1(s - 1)(s^2 + 1) = As - 1 + Bs + Cs^2 + 1
Aplicando a transformada inversa:
A

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 12e^t + 12cos t + 12sin t

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