Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem:
Pra resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais, entender as propriedades dela e como fazer a transformada inversa no final para encontrar a solução no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é representada por $ \mathcal{L}{f(t)} $ e vamos denotar a transformada de $ y(t) $ como $ Y(s) $. Aplicando a transformada na equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de como transformar a derivada. A transformada de Laplace da derivada de $ y(t) $ é:
Como $ y(0) = 0 $, isso simplifica para:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Precisamos agora saber qual é a transformada de $ \sin t $. Sabemos que:
No nosso caso, $ a = 1 $, então:
Substituindo isso na equação:
Passo 5
Vamos fatorar $ Y(s) $ do lado esquerdo:
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Passo 6
Para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de $ Y(s) $. Primeiro, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para $ A $, $ B $ e $ C $, encontramos:
Então, temos:
Aplicando a transformada inversa:
Resposta
A solução da equação diferencial é: