Determine a transformada de Laplace da função periódica de período 2 \pi, e definida por f(t)=t, se 0 \leq t<2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função periódica de período T=2\pi definida por
f(t)=t\quad\text{para }0\le t<2\pi
e repetida ciclicamente. Para funções periódicas com período T, usamos a fórmula
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{\displaystyle\int_{0}^{T}f(t)e^{-st}\,dt}{1-e^{-sT}}.

Passo 2

Vamos calcular a integral
I=\int_{0}^{2\pi}t\,e^{-st}\,dt
por partes. Seja u=t e dv=e^{-st}dt. Então
du=dt, \quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
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I =\Bigl[u\,v\Bigr]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}v\,du =-\frac{2\pi}{s}e^{-2\pi s} +\frac{1}{s}\int_{0}^{2\pi}e^{-st}dt.
A segunda integral é
\int_{0}^{2\pi}e^{-st}dt =\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-2\pi s}\bigr),
portanto
I =-\frac{2\pi}{s}e^{-2\pi s} +\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-2\pi s}\bigr) =\frac{1}{s^2}\Bigl(1-e^{-2\pi s}(1+2\pi s)\Bigr).

Passo 3

Substituindo I na fórmula da transformada periódica com T=2\pi, obtemos
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{I}{1-e^{-2\pi s}} =\frac{\displaystyle 1 - e^{-2\pi s}(1+2\pi s)}{s^2\bigl(1 - e^{-2\pi s}\bigr)}.

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1 - e^{-2\pi s}(1+2\pi s)}{s^2\bigl(1 - e^{-2\pi s}\bigr)} }.

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