Determine a transformada de Laplace da função a seguir.
g(t)=(t^2+1) H(t-1)

Passo 1

A questão pede a transformada de Laplace da função g(t) = (t^2 + 1)H(t-1). O conteúdo principal é a transformada de Laplace de função deslocada, e vamos usar a segunda propriedade de deslocamento que envolve a função de Heaviside.

Passo 2

Quando temos uma função da forma f(t - a)H(t - a), a segunda propriedade de deslocamento diz:
Lf(t - a)H(t - a)(s) = e^-a s integral0^infty f(tau) e^-s tau , dtau

Passo 3

Aqui podemos escrever g(t) = (t^2 + 1)H(t-1) como f(t - 1)H(t - 1) com f(tau) = (tau + 1)^2 + 1. Logo
Lg(t)(s) = e^-s integral0^infty l((tau + 1)^2 + 1r) e^-s tau , dtau

Passo 4

Expandindo (tau+1)^2 + 1 = tau^2 + 2tau + 2, o integral se divide em três partes:
integral0^infty tau^2 e^-stau dtau = 2s^3,
integral0^infty 2tau e^-stau dtau = 2cdot1s^2 = 2s^2,
integral0^infty 2 e^-stau dtau = 2cdot1s = 2s.

Passo 5

Somando esses resultados temos
integral0^infty (tau^2 + 2tau + 2)e^-stau dtau = 2s^3 + 2s^2 + 2s

Passo 6

Portanto
Lg(t)(s) = e^-s l(2s^3 + 2s^2 + 2sr) = 2 e^-s l(1s^3 + 1s^2 + 1sr) = 2 e^-ss^2 + s + 1s^3

Resposta

2e^-ss^2 + s + 1s^3

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