Determine a transformada de Laplace das funções:
f(t)=e^{\alpha t} \operatorname{sen}(\beta t);

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{\alpha t}\,\sin(\beta t),
portanto o conteúdo é a definição da transformada de Laplace e a propriedade de translação no domínio s (shift). Vamos usar também o resultado conhecido da transformada de \sin(\beta t).

Passo 2

Recordando que
\mathcal L\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,g(t)\,dt
e que, em particular,
\mathcal L\{\sin(\beta t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(\beta t)\,dt =\frac{\beta}{s^{2}+\beta^{2}}.

Passo 3

Uma propriedade importante é que, se \mathcal L\{g(t)\}(s)=G(s), então
\mathcal L\{e^{\alpha t}g(t)\}(s)=G(s-\alpha).
No nosso caso g(t)=\sin(\beta t) e G(s)=\beta/(s^{2}+\beta^{2}). Aplicando a translação s\mapsto s-\alpha obtemos
\mathcal L\{e^{\alpha t}\sin(\beta t)\}(s) =\frac{\beta}{(s-\alpha)^{2}+\beta^{2}}.

Resposta

\mathcal L\{e^{\alpha t}\sin(\beta t)\}(s) =\frac{\beta}{(s-\alpha)^{2}+\beta^{2}}.

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