Questão 1 Classifique cada uma das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo como linear, separável (não necessariamente nesta ordem), homogênea oú Bernoulli, e determine uma solução:
3 x^{2}+\omega+\left(x+3 \omega^{2}\right) \omega^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação de primeira ordem
3x^{2}+\omega+\bigl(x+3\omega^{2}\bigr)\,\omega'=0,
onde \omega=\omega(x). Pede-se: (i) classificar entre linear, separável, homogênea ou Bernoulli; (ii) encontrar a solução geral. Para isso vamos reescrever na forma
M(x,\omega)\,dx + N(x,\omega)\,d\omega = 0
e investigar o tipo.

Passo 2

Escrevendo
M(x,\omega)=3x^{2}+\omega,\quad N(x,\omega)=x+3\omega^{2},
temos
M\,dx + N\,d\omega=0\quad\Longleftrightarrow\quad (3x^{2}+\omega)\,dx + (x+3\omega^{2})\,d\omega=0.
Tentamos classificar:
– Não é linear em \omega (o termo 3\omega^{2} em N impede colocar em \omega'+p(x)\,\omega=q(x)).
– Não é separável (não factoriza em X(x)\,W(\omega)).
– Não é homogênea de grau zero em (x,\omega).
– Não está na forma de Bernoulli \omega'+p(x)\,\omega=q(x)\,\omega^{n}.
Por outro lado, calculamos
\frac{\partial M}{\partial \omega}=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=1,
logo \partial M/\partial\omega=\partial N/\partial x e a equação é exata.

Passo 3

Para resolver uma equação exata buscamos uma função potencial \Phi(x,\omega) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,\omega), \quad \frac{\partial \Phi}{\partial \omega}=N(x,\omega).
Primeiro integramos M em relação a x:
\Phi(x,\omega) =\int\bigl(3x^{2}+\omega\bigr)\,dx =x^{3}+x\,\omega+g(\omega),
onde g(\omega) é “constante” em relação a x.

Passo 4

Agora impomos \partial \Phi/\partial \omega=N:
\frac{\partial \Phi}{\partial \omega} =x+g'(\omega) \stackrel!=x+3\omega^{2} \quad\Longrightarrow\quad g'(\omega)=3\omega^{2} \;\Longrightarrow\; g(\omega)=\omega^{3}.
Portanto
\Phi(x,\omega) =x^{3}+x\,\omega+\omega^{3}.

Passo 5

A solução geral é dada implicitamente por
\Phi(x,\omega)=C \;\Longrightarrow\; x^{3}+x\,\omega+\omega^{3}=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

Classificação: a equação não é linear, separável, homogênea nem de Bernoulli, mas é exata.
Solução geral implícita:
x^{3}+x\,\omega+\omega^{3}=C.

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