Questão 1 Classifique cada uma das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo como linear, separável (não necessariamente nesta ordem), homogênea oú Bernoulli, e determine uma solução:
Passo 1
O enunciado dá a equação de primeira ordem
onde
. Pede-se: (i) classificar entre linear, separável, homogênea ou Bernoulli; (ii) encontrar a solução geral. Para isso vamos reescrever na forma
e investigar o tipo.
Passo 2
Escrevendo
temos
Tentamos classificar:
– Não é linear em (o termo
em
impede colocar em
).
– Não é separável (não factoriza em ).
– Não é homogênea de grau zero em .
– Não está na forma de Bernoulli .
Por outro lado, calculamos
– Não é linear em
– Não é separável (não factoriza em
– Não é homogênea de grau zero em
– Não está na forma de Bernoulli
Por outro lado, calculamos
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Para resolver uma equação exata buscamos uma função potencial
tal que
Primeiro integramos
em relação a
:
onde
é “constante” em relação a
.
Passo 4
Agora impomos
:
Portanto
Passo 5
A solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.
Resposta
Classificação: a equação não é linear, separável, homogênea nem de Bernoulli, mas é exata.
Solução geral implícita:
Solução geral implícita: