Questão 1 Classifique cada uma das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo como linear, separável (não necessariamente nesta ordem), homogênea oú Bernoulli, e determine uma solução:
\omega^{\prime}=\frac{\omega}{x}+\exp (\omega / x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\omega'(x)=\frac{\omega(x)}{x}+\exp\bigl(\tfrac{\omega(x)}{x}\bigr)
e pede a classificação (linear, separável, homogênea ou Bernoulli) e uma solução. Para resolver, vamos identificar o tipo de ODE e depois aplicar a técnica apropriada.

Passo 2

Observamos que o termo do lado direito depende apenas da razão \omega/x. Escrevendo
\omega'(x)=\frac{\omega(x)}{x}+\exp\!\bigl(\tfrac{\omega(x)}{x}\bigr)
podemos reorganizar como
\omega'(x)-\frac{1}{x}\,\omega(x)=\exp\!\bigl(\tfrac{\omega(x)}{x}\bigr).
Isso mostra que não é linear (pois o segundo membro não é função só de x), mas sim do tipo homogêneo de primeira ordem, pois f(x,\omega)=f(\omega/x).

Passo 3

Para esse tipo homogêneo, fazemos a substituição
u(x)=\frac{\omega(x)}{x},
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\omega(x)=x\,u(x) \quad\text{e}\quad \omega'(x)=u(x)+x\,u'(x).
Substituindo na equação original, obtemos
u + x\,u'=\;u+\exp\!\bigl(u\bigr),
e simplificando u dos dois lados resulta em
x\,\frac{du}{dx}=\exp\bigl(u\bigr).

Passo 4

A nova equação
x\,\frac{du}{dx}=\exp(u)
é separável. Separamos variáveis:
\exp(-u)\,du=\frac{dx}{x}.
Integramos os dois lados:
\int \exp(-u)\,du=\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,\exp(-u)=\ln\bigl|x\bigr|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, lembrando que u=\omega/x, temos
-\,\exp\!\bigl(-\tfrac{\omega}{x}\bigr)=\ln\bigl|x\bigr|+C \quad\Longrightarrow\quad \exp\!\bigl(-\tfrac{\omega}{x}\bigr)= -\ln\bigl|x\bigr|-C.
Podemos escrever -C como nova constante C_1, de modo que
\exp\!\Bigl(-\frac{\omega(x)}{x}\Bigr)=C_1-\ln\bigl|x\bigr|.
Tomando logaritmo e isolando \omega, vem
-\frac{\omega(x)}{x} =\ln\!\bigl(C_1-\ln|x|\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \omega(x)=-\,x\;\ln\!\bigl(C_1-\ln|x|\bigr).

Resposta

Classificação: homogênea de primeira ordem (que se torna separável via u=\omega/x).
Solução geral:
\boxed{ \omega(x)=-\,x\;\ln\!\bigl(C_1-\ln|x|\bigr), }
onde C_1 é constante de integração.

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