Determine a transformada de Laplace das funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
Informações dadas:
- A função é a soma de três parcelas:
, e . - Precisa-se calcular
dessa soma (ou seja, do somatório das parcelas).
Nenhuma outra informação foi dada.
Passo 2
Propriedade básica que vamos usar: linearidade da transformada de Laplace. Isso significa que, para funções
e
e constantes
,
Aplicando isso ao nosso caso obtemos
Agora calculamos cada termo separadamente.
Passo 3
Cálculo de
.
Definição:
(assumindo convergência).
Vamos calcular
para
. Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando o método de sistemas), obtém-se a fórmula clássica
Substituindo
temos
Passo 4
Teorema do deslocamento (no domínio de
) para exponenciais: se
, então
porque
No nosso caso temos
com
. Assim
Multiplicando pelo fator
da função original resulta
Passo 5
Cálculo de
.
Fórmula geral conhecida: para inteiro
,
Podemos demonstrar para
por integração por partes:
Portanto, multiplicando por
,
Passo 6
Cálculo de
.
Pela definição,
Multiplicando por
temos
Passo 7
Somando todas as parcelas obtidas (pela linearidade):
Região de validade conjunta: os termos
e
exigem
; o termo com deslocamento exige
. A interseção é
. Então a expressão acima é válida para
.