Determine a transformada de Laplace das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função
As informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função está explícita em termos de
. - Queremos
, isto é, a transformada de Laplace em função do parâmetro . - Vou usar propriedades básicas: linearidade da transformada e fórmulas padrão para monômios
, para a função constante e para . - Assuma a região de convergência padrão
.
Passo 2
Primeiro, simplifico a expressão algébrica para separar termos simples:
Isso deixa claro que posso aplicar a linearidade da transformada.
Passo 3
Usando a linearidade de
(isto é,
), escrevo:
Agora vou calcular cada transformada básica separadamente.
Passo 4
Transformada da constante
:
válido para
.
Passo 5
Fórmula para monômios:
para
inteiro não-negativo e
.
Uma forma prática de ver isso é usar a propriedade .
Uma forma prática de ver isso é usar a propriedade
- Para
: - Para
: calculo as derivadas em cadeia Então
Isso confirma a fórmula
: para
temos
.
Passo 6
Transformada de
. A fórmula geral é
Aplicando com
:
Passo 7
Agora volto à combinação linear do Passo 3 e substituo cada resultado:
Faço as multiplicações:
válido para
.