Determine a transformada de Laplace das funções:
\mathcal{L}\left(2 x\left(x^{2}-3\right)+1+4 \cos (2 x)\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função
f(x)=2 x\left(x^{2}-3\right)+1+4\cos(2x).
As informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função está explícita em termos de x.
  • Queremos \mathcal{L}\{f(x)\}(s), isto é, a transformada de Laplace em função do parâmetro s.
  • Vou usar propriedades básicas: linearidade da transformada e fórmulas padrão para monômios x^n, para a função constante e para \cos(ax).
  • Assuma a região de convergência padrão \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 2

Primeiro, simplifico a expressão algébrica para separar termos simples:
2x\left(x^{2}-3\right)+1+4\cos(2x)=2x^{3}-6x+1+4\cos(2x).
Isso deixa claro que posso aplicar a linearidade da transformada.

Passo 3

Usando a linearidade de \mathcal{L} (isto é, \mathcal{L}\{a g+b h\}=a\mathcal{L}\{g\}+b\mathcal{L}\{h\}), escrevo:
\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=2\mathcal{L}\{x^{3}\}(s)-6\mathcal{L}\{x\}(s)+\mathcal{L}\{1\}(s)+4\mathcal{L}\{\cos(2x)\}(s).
Agora vou calcular cada transformada básica separadamente.

Passo 4

Transformada da constante 1:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,dx=\left[-\frac{1}{s}e^{-s x}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 5

Fórmula para monômios: \mathcal{L}\{x^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n inteiro não-negativo e \operatorname{Re}(s)>0.
Uma forma prática de ver isso é usar a propriedade \mathcal{L}\{x^{n}\}(s)=(-1)^{n}\dfrac{d^{n}}{ds^{n}}\!\left(\dfrac{1}{s}\right).
  • Para n=1: \mathcal{L}\{x\}(s) = -\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s}\right) = -\left(-\frac{1}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s^{2}}.
  • Para n=3: calculo as derivadas em cadeia \frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s}\right)=-\frac{1}{s^{2}},\qquad \frac{d^{2}}{ds^{2}}\!\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{2}{s^{3}},\qquad \frac{d^{3}}{ds^{3}}\!\left(\frac{1}{s}\right)=-\frac{6}{s^{4}}.Então \mathcal{L}\{x^{3}\}(s)=(-1)^{3}\frac{d^{3}}{ds^{3}}\!\left(\frac{1}{s}\right)=-\left(-\frac{6}{s^{4}}\right)=\frac{6}{s^{4}}.
Isso confirma a fórmula n! / s^{n+1}: para n=3 temos 3! / s^{4}=6/s^{4}.

Passo 6

Transformada de \cos(2x). A fórmula geral é
\mathcal{L}\{\cos(a x)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\quad(\operatorname{Re}(s)>0).
Aplicando com a=2:
\mathcal{L}\{\cos(2x)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 7

Agora volto à combinação linear do Passo 3 e substituo cada resultado:
\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=2\cdot\frac{6}{s^{4}}-6\cdot\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s}+4\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.
Faço as multiplicações:
\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\frac{12}{s^{4}}-\frac{6}{s^{2}}+\frac{1}{s}+\frac{4s}{s^{2}+4},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\displaystyle \frac{12}{s^{4}}-\frac{6}{s^{2}}+\frac{1}{s}+\frac{4s}{s^{2}+4}

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