Determine a transformada de Laplace das funções:
\mathcal{L}\left(x \cos (2 x)+3 x\left(4-e^{-3 x} \cdot x^{3}\right)\right)

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado pede a transformada de Laplace de \,x \cos(2x)+3x\bigl(4-e^{-3x}\cdot x^{3}\bigr).
  • Informações relevantes que temos:
    • A função a transformar é uma soma e produto de funções elementares (polinômios, cosseno e exponencial).
    • Não há condições adicionais; devemos usar propriedades usuais da transformada de Laplace.
As perguntas implícitas: calcular \mathcal{L}\bigl(x\cos(2x)\bigr) e \mathcal{L}\bigl(3x(4-e^{-3x}x^3)\bigr) e somar os resultados.

Passo 2

Estratégia e propriedades que vamos usar (explicadas didaticamente e sem pular etapas):
  1. Linearidade da transformada: para quaisquer constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f + b g\} = a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
Isso permite decompor a transformada em partes simples.
  1. Propriedade de multiplicação por t (usada muito em prova): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} então
\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s).
Explicação rápida: essa fórmula vem de trocar ordem integral/derivada no integral de Laplace e é muito útil quando aparece um fator t multiplicando uma função cuja transformada é conhecida.
  1. Transformadas básicas que usaremos:
  • \mathcal{L}\{\cos(2t)\} = \dfrac{s}{s^{2}+4}. Aqui s é a variável da transformada.
  • \mathcal{L}\{t^{n}\} = \dfrac{n!}{s^{n+1}} para inteiro n\ge0. Por exemplo, \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1!}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^{2}}.
  • Propriedade de deslocamento na variável s (fator exponencial): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então
\mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a).
Com essas propriedades podemos resolver o problema de modo direto.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{x\cos(2x)\} usando a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}.
  • Primeiro, a transformada de \cos(2x) é
\mathcal{L}\{\cos(2x)\}=\frac{s}{s^{2}+4}.
  • Aplicando \mathcal{L}\{x\cos(2x)\} = -\dfrac{d}{ds}\!\left(\dfrac{s}{s^{2}+4}\right). Vamos derivar passo a passo:
    • Seja F(s)=\dfrac{s}{s^{2}+4}.
    • Derivando F(s) usando quociente:
    \frac{d}{ds}F(s)=\frac{(1)(s^{2}+4)-s(2s)}{(s^{2}+4)^{2}}=\frac{s^{2}+4-2s^{2}}{(s^{2}+4)^{2}}=\frac{4-s^{2}}{(s^{2}+4)^{2}}.
    • Logo
    \mathcal{L}\{x\cos(2x)\}=-\frac{d}{ds}F(s)=-\frac{4-s^{2}}{(s^{2}+4)^{2} }=\frac{s^{2}-4}{(s^{2}+4)^{2}}.Explicando: o sinal negativo inverte o numerador, ficando (s^{2}-4)/(s^{2}+4)^{2}.

Passo 4

Agora calculamos \mathcal{L}\bigl(3x(4-e^{-3x}x^{3})\bigr). Primeiro expandimos usando linearidade:
3x\bigl(4-e^{-3x}x^{3}\bigr)=12x-3x^{4}e^{-3x}.
Vamos calcular as transformadas de cada termo separadamente.
  1. Transformada de 12x:
  • Usamos \mathcal{L}\{x\}=\dfrac{1}{s^{2}}.
  • Pela linearidade,
\mathcal{L}\{12x\}=12\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{12}{s^{2}}.
  1. Transformada de -3x^{4}e^{-3x}:
  • Primeiro a transformada de x^{4} (usar \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} com n=4):
\mathcal{L}\{x^{4}\}=\frac{4!}{s^{5}}=\frac{24}{s^{5}}.
  • Agora aplicar o deslocamento em s devido a e^{-3x}: \mathcal{L}\{x^{4}e^{-3x}\}=\dfrac{24}{(s+3)^{5}}.
  • Multiplicando pelo coeficiente -3 (lembre que o termo é -3x^{4}e^{-3x}),
\mathcal{L}\{-3x^{4}e^{-3x}\}=-3\cdot\frac{24}{(s+3)^{5}}=-\frac{72}{(s+3)^{5}}.
Portanto
\mathcal{L}\{12x-3x^{4}e^{-3x}\}=\frac{12}{s^{2}}-\frac{72}{(s+3)^{5}}.

Passo 5

Somando tudo (pela linearidade da transformada), a transformada de toda a função é a soma das partes calculadas nos passos anteriores:
\mathcal{L}\bigl(x\cos(2x)+3x(4-e^{-3x}x^{3})\bigr) = \mathcal{L}\{x\cos(2x)\}+\mathcal{L}\{12x-3x^{4}e^{-3x}\}
Substituindo os resultados:
\mathcal{L}\bigl(x\cos(2x)+3x(4-e^{-3x}x^{3})\bigr) = \frac{s^{2}-4}{(s^{2}+4)^{2}}+\frac{12}{s^{2}}-\frac{72}{(s+3)^{5}}.

Resposta

\displaystyle \frac{s^{2}-4}{(s^{2}+4)^{2}}+\frac{12}{s^{2}}-\frac{72}{(s+3)^{5}}

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