Determine a transformada de Laplace das funções:
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado pede e o que ele dá.
- O enunciado pede a transformada de Laplace de
. - Informações relevantes que temos:
- A função a transformar é uma soma e produto de funções elementares (polinômios, cosseno e exponencial).
- Não há condições adicionais; devemos usar propriedades usuais da transformada de Laplace.
As perguntas implícitas: calcular
e
e somar os resultados.
Passo 2
Estratégia e propriedades que vamos usar (explicadas didaticamente e sem pular etapas):
- Linearidade da transformada: para quaisquer constantes
e funções ,
Isso permite decompor a transformada em partes simples.
- Propriedade de multiplicação por
(usada muito em prova): se então
Explicação rápida: essa fórmula vem de trocar ordem integral/derivada no integral de Laplace e é muito útil quando aparece um fator
multiplicando uma função cuja transformada é conhecida.
- Transformadas básicas que usaremos:
-
. Aqui é a variável da transformada. -
para inteiro . Por exemplo, . - Propriedade de deslocamento na variável
(fator exponencial): se então
Com essas propriedades podemos resolver o problema de modo direto.
Passo 3
Calcular
usando a propriedade
.
- Primeiro, a transformada de
é
- Aplicando
. Vamos derivar passo a passo: - Seja
. - Derivando
usando quociente:
- Logo
Explicando: o sinal negativo inverte o numerador, ficando . - Seja
Passo 4
Agora calculamos
. Primeiro expandimos usando linearidade:
Vamos calcular as transformadas de cada termo separadamente.
- Transformada de
:
- Usamos
. - Pela linearidade,
- Transformada de
:
- Primeiro a transformada de
(usar com ):
- Agora aplicar o deslocamento em
devido a : . - Multiplicando pelo coeficiente
(lembre que o termo é ),
Portanto
Passo 5
Somando tudo (pela linearidade da transformada), a transformada de toda a função é a soma das partes calculadas nos passos anteriores:
Substituindo os resultados: