Determine a Transformada de Laplace das funções a seguir:
x(t)=t^{2} e^{-3 t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de x(t)=t^{2}e^{-3t}u(t). O conteúdo é Transformada de Laplace, e vamos usar a definição integral e uma propriedade de deslocamento exponencial.

Passo 2

Usamos a definição:
X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)\,e^{-st}\,dt,
já que u(t) garante que a integral seja de 0 a \infty.

Passo 3

Substituindo x(t)=t^{2}e^{-3t} na integral:
X(s)=\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-3t}e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-(s+3)t}\,dt.

Passo 4

Reconhecemos a integral padrão, válida para \Re(a)>0:
\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-a t}\,dt=\frac{n!}{a^{\,n+1}}.

Passo 5

Aqui n=2 e a=s+3, de modo que
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-(s+3)t}\,dt =\frac{2!}{(s+3)^{3}} =\frac{2}{(s+3)^{3}}.

Resposta

X(s)=\frac{2}{(s+3)^{3}}
Região de convergência: \Re(s)>-3.

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