Determine a transformada de Laplace inversa das funções:
F(s)=\frac{2 s-5}{s\left(s^{2}+s-12\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2s-5}{s\,(s^2+s-12)}.
O conteúdo principal é decompor F(s) em frações simples (partial fractions) e usar fórmulas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1s\}(t)=1,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+a}\}(t)=e^{-a t},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s-a}\}(t)=e^{a t}.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador quadrático:
s^2+s-12 = (s+4)(s-3).
Assim
F(s)=\frac{2s-5}{s\,(s+4)\,(s-3)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+4}+\frac{C}{s-3}.

Passo 3

Multiplicando por s(s+4)(s-3) e usando o método “cover-up” para achar A,B,C:
2s-5 = A\,(s+4)(s-3) + B\,s\,(s-3) + C\,s\,(s+4).
  • Para A: faça s=0.
A = \frac{2\cdot0-5}{(0+4)(0-3)} = \frac{-5}{-12} = \frac{5}{12}.
  • Para B: faça s=-4.
B = \frac{2(-4)-5}{(-4)\,(-4-3)} = \frac{-8-5}{-4\cdot(-7)} = \frac{-13}{28}.
  • Para C: faça s=3.
C = \frac{2\cdot3-5}{3\,(3+4)} = \frac{6-5}{21} = \frac{1}{21}.

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos
F(s) = \frac{5/12}{s} + \frac{-13/28}{s+4} + \frac{1/21}{s-3}.

Passo 5

Agora aplicamos a inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{5/12}{s}\biggr\}(t) = \frac{5}{12}, \quad \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{-13/28}{s+4}\biggr\}(t) = -\frac{13}{28}\,e^{-4t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1/21}{s-3}\biggr\}(t) = \frac{1}{21}\,e^{3t}.

Resposta

f(t) = \frac{5}{12} \;-\;\frac{13}{28}\,e^{-4t}\;+\;\frac{1}{21}\,e^{3t}.

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