Encontre a derivada das funções:
f(x)=x^{2} \operatorname{sen}(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = x^{2}\,\operatorname{sen}(3x).
Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais do cálculo diferencial:
  1. A regra do produto, que vale para funções do tipo u(x)\,v(x).
  2. A regra da cadeia, necessária para derivar \operatorname{sen}(3x).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto à função f(x)=u(x)\,v(x), com
u(x) = x^{2} \quad\text{e}\quad v(x) = \operatorname{sen}(3x).
Pela regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Agora derivamos cada parte:
  • Para u(x)=x^{2}, temos
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = 2x.
  • Para v(x)=\operatorname{sen}(3x), usamos a regra da cadeia. A derivada de \operatorname{sen}(t) em relação a t é \cos(t), e t=3x tem derivada 3. Logo,
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(3x)\bigr) = \cos(3x)\,\cdot 3 = 3\,\cos(3x).

Passo 4

Substituindo u'(x), v(x) e v'(x) na expressão da regra do produto, temos
f'(x) = (2x)\,\operatorname{sen}(3x) + x^{2}\,(3\,\cos(3x)).
Podemos deixar o resultado final como
f'(x) = 2x\,\operatorname{sen}(3x) + 3x^{2}\,\cos(3x).

Resposta

f'(x) = 2x\,\operatorname{sen}(3x) + 3x^{2}\,\cos(3x).

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