Encontre a derivada das funções:
y=\left(\frac{u-1}{u^{2}+4+1}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\Bigl(\frac{u-1}{u^{2}+5}\Bigr)^{4}
e pede y'=\frac{dy}{du}. Para resolver vamos usar a regra da cadeia (para a potência quarta) combinada com a regra do quociente (para a razão \frac{u-1}{u^{2}+5}).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em y=(g(u))^{4}, temos
\frac{dy}{du}=4\bigl(g(u)\bigr)^{3}\,g'(u),
onde
g(u)=\frac{u-1}{u^{2}+5}.

Passo 3

Agora calculamos g'(u) pela regra do quociente:
g'(u) =\frac{(u^{2}+5)\cdot\frac{d}{du}(u-1)\;-\;(u-1)\cdot\frac{d}{du}(u^{2}+5)}{(u^{2}+5)^{2}}.
Como \frac{d}{du}(u-1)=1 e \frac{d}{du}(u^{2}+5)=2u, segue
g'(u) =\frac{(u^{2}+5)\cdot1-(u-1)\cdot2u}{(u^{2}+5)^{2}} =\frac{u^{2}+5-2u(u-1)}{(u^{2}+5)^{2}} =\frac{-\,u^{2}+2u+5}{(u^{2}+5)^{2}}.

Passo 4

Substituindo g(u) e g'(u) em \frac{dy}{du}=4(g(u))^{3}g'(u), obtemos
\frac{dy}{du} =4\Bigl(\frac{u-1}{u^{2}+5}\Bigr)^{3} \cdot\frac{-u^{2}+2u+5}{(u^{2}+5)^{2}} =\frac{4\,(u-1)^{3}\,(-u^{2}+2u+5)}{(u^{2}+5)^{5}}.

Resposta

y'=\frac{4\,(u-1)^{3}\,(-u^{2}+2u+5)}{(u^{2}+5)^{5}}.

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