Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace inversa das funções indicadas.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma função foi incluída — o enunciado está incompleto.
Conclusão imediata: não há como calcular explicitamente nenhuma transformada inversa sem saber quais funções F(s) devemos inverter. Não vou inventar funções; preciso que as funções reais apareçam no enunciado para obter respostas corretas.

Passo 2

Enquanto não há as funções específicas, vamos aprender direitinho o que é a transformada de Laplace inversa e como você pode resolver esses exercícios na prova. Primeiro, definição e notação básica:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
A transformada inversa é a operação que recupera f(t) a partir de F(s); escrevemos
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t).
Na prática da prova você quase sempre usará tabelas de transformadas e técnicas algébricas (em vez da integral de Bromwich).

Passo 3

Propriedades e transformadas fundamentais que você deve decorar — vou explicar cada uma devagar e com exemplos:
  • Linearidade:
\mathcal{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\}=a\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}+b\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\},
onde a,b são constantes.
  • Deslocamento no domínio s (teorema do crescimento exponencial):
\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}f(t),\quad \text{se }F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
  • Deslocamento no tempo (teorema de Heaviside):
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s),
portanto
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=u(t-a)f(t-a),
onde u é a função degrau unitário.
  • Convolução:
\mathcal{L}\{(f*g)(t)\}=F(s)G(s),
então se F(s)=A(s)B(s) e A,B correspondem a funções simples, às vezes é mais fácil inverter via convolução.
Transformadas básicas (memorização essencial):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}\right\}=t,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+\omega^2}\right\}=\cos(\omega t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right\}=\sin(\omega t).

Passo 4

Método mais usado em provas: decomposição em frações parciais (quando F(s) é uma razão de polinômios). Procedimento passo a passo:
  1. Verifique o grau do numerador e do denominador. Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, faça divisão polinomial primeiro para separar um polinômio em s mais uma fração própria.
  2. Fatore o denominador em fatores lineares e/ou quadráticos irreduzíveis (no conjunto dos reais).
  3. Escreva a decomposição em frações parciais adequada: para cada fator linear (s-a) use termo \dfrac{A}{s-a}; para cada fator repetido (s-a)^k use \dfrac{A_1}{s-a}+\dfrac{A_2}{(s-a)^2}+\dots+\dfrac{A_k}{(s-a)^k}; para cada quadrático irreduzível s^2+bs+c use \dfrac{Bs+C}{s^2+bs+c}.
  4. Determine as constantes ( A,B,C,\dots) por comparação de coeficientes ou método das substituições.
  5. Inverta termo a termo usando a tabela e as propriedades (p.ex. completar quadrado para relacionar s^2+\omega^2).

Passo 5

Exemplo didático e completo (faça igual na prova). Calcular \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2s+3}{(s+1)(s+2)}\right\}\). 1. Observe que o grau do numerador é menor que o do denominador — já é uma fração própria. 2. Faça frações parciais: suponha \[\frac{2s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
  1. Multiplique ambos os lados por (s+1)(s+2):
2s+3 = A(s+2)+B(s+1).
  1. Expanda e compare coeficientes:
2s+3=(A+B)s+(2A+B).
Então temos o sistema
\begin{cases} A+B=2,\\[4pt] 2A+B=3. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: A=1\]. Então \(B=1.
  1. Logo
\frac{2s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+2}.
  1. Invertendo termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at} (atenção ao sinal do a):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}.
  1. Resultado final do exemplo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s+3}{(s+1)(s+2)}\right\}=e^{-t}+e^{-2t}.
Prontinho — esse é exatamente o tipo de conta que virá na prova.]

Passo 6

Outras situações e dicas rápidas:
  • Polos complexos: para termos como \dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2} e \dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} as inversas são e^{-at}\cos(\omega t) e e^{-at}\sin(\omega t).
  • Repetição de polos: para \dfrac{1}{(s-a)^n} a inversa é \dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{at}.
  • Se o resultado da decomposição dá um numerador do tipo Bs+C sobre quadrático, escreva-o como combinação de termos que geram \cos e \sin.
  • Se você ficar com produto de funções no s-domínio e nenhuma das técnicas simples funcionar, pense em convolução no tempo (às vezes necessário).

Passo 7

Resumo prático para a prova (passo a passo quando receber F(s)):
  1. Checar grau e dividir se necessário.
  2. Fatorar o denominador (linear/quadrático).
  3. Fazer frações parciais corretamente (respeitando multiplicidades).
  4. Encontrar constantes.
  5. Usar tabela e propriedades (deslocamentos, exponencial, seno/cosseno, potências de t).
  6. Reunir termos e simplificar.
Você está quase lá — com essas receitas você consegue resolver qualquer inversa que o professor peça, desde as mais básicas até as com deslocamento e raízes complexas. Quando você me mandar as funções específicas que faltaram no enunciado eu faço a resolução passo a passo delas, do jeitinho que você gosta — com todas as contas detalhadas e explicadinhas.

Resposta

Não é possível determinar a Transformada de Laplace inversa porque as funções F(s) não foram fornecidas no enunciado.

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