Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace inversa das funções indicadas.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma função foi incluída — o enunciado está incompleto.
Conclusão imediata: não há como calcular explicitamente nenhuma transformada inversa sem saber quais funções devemos inverter. Não vou inventar funções; preciso que as funções reais apareçam no enunciado para obter respostas corretas.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma função foi incluída — o enunciado está incompleto.
Conclusão imediata: não há como calcular explicitamente nenhuma transformada inversa sem saber quais funções
Passo 2
Enquanto não há as funções específicas, vamos aprender direitinho o que é a transformada de Laplace inversa e como você pode resolver esses exercícios na prova. Primeiro, definição e notação básica:
A transformada inversa é a operação que recupera
a partir de
; escrevemos
Na prática da prova você quase sempre usará tabelas de transformadas e técnicas algébricas (em vez da integral de Bromwich).
Passo 3
Propriedades e transformadas fundamentais que você deve decorar — vou explicar cada uma devagar e com exemplos:
- Linearidade:
onde
são constantes.
- Deslocamento no domínio
(teorema do crescimento exponencial):
- Deslocamento no tempo (teorema de Heaviside):
portanto
onde
é a função degrau unitário.
- Convolução:
então se
e
correspondem a funções simples, às vezes é mais fácil inverter via convolução.
Transformadas básicas (memorização essencial):
Passo 4
Método mais usado em provas: decomposição em frações parciais (quando
é uma razão de polinômios). Procedimento passo a passo:
- Verifique o grau do numerador e do denominador. Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, faça divisão polinomial primeiro para separar um polinômio em
mais uma fração própria. - Fatore o denominador em fatores lineares e/ou quadráticos irreduzíveis (no conjunto dos reais).
- Escreva a decomposição em frações parciais adequada: para cada fator linear
use termo ; para cada fator repetido use ; para cada quadrático irreduzível use . - Determine as constantes (
) por comparação de coeficientes ou método das substituições. - Inverta termo a termo usando a tabela e as propriedades (p.ex. completar quadrado para relacionar
).
Passo 5
Exemplo didático e completo (faça igual na prova). Calcular
- Multiplique ambos os lados por
:
- Expanda e compare coeficientes:
Então temos o sistema
Subtraindo a primeira da segunda:
.
- Logo
- Invertendo termo a termo usando
(atenção ao sinal do ):
- Resultado final do exemplo:
Prontinho — esse é exatamente o tipo de conta que virá na prova.]
Passo 6
Outras situações e dicas rápidas:
- Polos complexos: para termos como
e as inversas são e . - Repetição de polos: para
a inversa é . - Se o resultado da decomposição dá um numerador do tipo
sobre quadrático, escreva-o como combinação de termos que geram e . - Se você ficar com produto de funções no
-domínio e nenhuma das técnicas simples funcionar, pense em convolução no tempo (às vezes necessário).
Passo 7
Resumo prático para a prova (passo a passo quando receber
):
- Checar grau e dividir se necessário.
- Fatorar o denominador (linear/quadrático).
- Fazer frações parciais corretamente (respeitando multiplicidades).
- Encontrar constantes.
- Usar tabela e propriedades (deslocamentos, exponencial, seno/cosseno, potências de
). - Reunir termos e simplificar.
Você está quase lá — com essas receitas você consegue resolver qualquer inversa que o professor peça, desde as mais básicas até as com deslocamento e raízes complexas. Quando você me mandar as funções específicas que faltaram no enunciado eu faço a resolução passo a passo delas, do jeitinho que você gosta — com todas as contas detalhadas e explicadinhas.
Resposta
Não é possível determinar a Transformada de Laplace inversa porque as funções
não foram fornecidas no enunciado.