Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a Transformada de Laplace da função obtida pela convolução
Informações dadas:
- A função em convolução é composta por
e . - O símbolo
indica convolução no tempo (assumimos a convolução causal, com integração de a ). - A tarefa é achar
, a Transformada de Laplace unilateral de .
Passo 2
Primeiro, vou lembrar a definição da Transformada de Laplace unilateral e uma propriedade fundamental que vamos usar.
Definição da Transformada de Laplace: para uma função
definida em
,
onde
é um número complexo e a integral converge para valores de
numa certa região.
Propriedade útil (Teorema da Convolução): a transformada de Laplace converte convolução em produto. Ou seja, se
então
Essa propriedade é muito prática: em vez de calcular uma integral dupla da convolução, calculamos duas transformadas simples e multiplicamos.
Passo 3
Vou calcular as transformadas separadas.
Primeiro, para
:
Essa é uma integral geométrica. Para
(isto é,
),
Portanto
Passo 4
Agora para
:
Há uma fórmula padrão (ou você pode derivar por partes) para
Aqui
e
. Logo, para
(isto é,
),
Passo 5
Agora uso o Teorema da Convolução: a transformada da convolução é o produto das transformadas individuais. Assim
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Podemos escrever o denominador do segundo fator expandido:
. Assim uma forma alternativa é
A região de convergência é a interseção das regiões obtidas antes:
e
, portanto
.