Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=e^{-t} * e^{t} \cos t

Passo 1

O enunciado pede para determinar a Transformada de Laplace da função obtida pela convolução
f(t)=e^{-t} * e^{t}\cos t.
Informações dadas:
  • A função em convolução é composta por e^{-t} e e^{t}\cos t.
  • O símbolo * indica convolução no tempo (assumimos a convolução causal, com integração de 0 a \infty).
  • A tarefa é achar \mathcal{L}\{f(t)\}, a Transformada de Laplace unilateral de f(t).

Passo 2

Primeiro, vou lembrar a definição da Transformada de Laplace unilateral e uma propriedade fundamental que vamos usar.
Definição da Transformada de Laplace: para uma função h(t) definida em t\ge 0,
\mathcal{L}\{h(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,h(t)\,dt,
onde s é um número complexo e a integral converge para valores de s numa certa região.
Propriedade útil (Teorema da Convolução): a transformada de Laplace converte convolução em produto. Ou seja, se f(t)=g(t)*h(t) então
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s)\cdot \mathcal{L}\{h(t)\}(s).
Essa propriedade é muito prática: em vez de calcular uma integral dupla da convolução, calculamos duas transformadas simples e multiplicamos.

Passo 3

Vou calcular as transformadas separadas.
Primeiro, para g(t)=e^{-t}:
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-t}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt.
Essa é uma integral geométrica. Para \Re(s+1)>0 (isto é, \Re(s)>-1),
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt = \left[ -\frac{1}{s+1} e^{-(s+1)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s+1}.
Portanto
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1},\qquad \Re(s)>-1.

Passo 4

Agora para h(t)=e^{t}\cos t:
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{t}\cos t\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-1)t}\cos t\,dt.
Há uma fórmula padrão (ou você pode derivar por partes) para
\int_{0}^{\infty} e^{-at}\cos(bt)\,dt = \frac{a}{a^{2}+b^{2}},\qquad \Re(a)>0.
Aqui a=s-1 e b=1. Logo, para \Re(s-1)>0 (isto é, \Re(s)>1),
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}.

Passo 5

Agora uso o Teorema da Convolução: a transformada da convolução é o produto das transformadas individuais. Assim
\mathcal{L}\{e^{-t} * e^{t}\cos t\}(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)\cdot \mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}(s).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{s+1}\cdot\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}.
Podemos escrever o denominador do segundo fator expandido: (s-1)^{2}+1 = s^{2}-2s+2. Assim uma forma alternativa é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{s-1}{(s+1)\bigl((s-1)^{2}+1\bigr)} = \frac{s-1}{(s+1)(s^{2}-2s+2)}.
A região de convergência é a interseção das regiões obtidas antes: \Re(s)>-1 e \Re(s)>1, portanto \Re(s)>1.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-t} * e^{t}\cos t\}(s)=\frac{s-1}{(s+1)\bigl((s-1)^{2}+1\bigr)}=\frac{s-1}{(s+1)(s^{2}-2s+2)},\qquad \Re(s)>1

Exercícios relacionados