Escreva cada função em termos de funções derau unitário e encontre a sua transformada de Laplace. f(t)=\left\{\begin{array}{l}2,0 \leq t<3 \\\\ -2, t \geq 3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a função dada em termos de funções de degrau unitário e (2) encontrar a transformada de Laplace dessa expressão.
Dados fornecidos pelo enunciado:
Vamos recordar o que é a função de degrau unitário (função de Heaviside). Definimos a função \\ u(t-a)\) assim:
\[u(t-a)=\begin{cases} 0, & t<a,\\[4pt] 1, & t>a, \end{cases}
(na prática, o valor em t=a\] não importa para a transformada de Laplace). A ideia prática: multiplicando por \(u(t-a) “liga” uma contribuição a partir de t=a.]
Passo 3
Estratégia para reescrever f(t): pensar em um valor base que vale para todo t\ge0 e depois somar/subtrair uma mudança que ocorre a partir de t=3. Aqui vemos que para t<3 a função vale 2 e para t\ge3 vale -2. Ou seja, em t=3 a função sofre uma queda de 4 (de 2 para -2). Então podemos escrever f(t) como "base 2" menos "uma contribuição de 4 que começa em t=3". Assim propomos:
f(t)=2-4\,u(t-3).
Passo 4
Verificação da expressão para as duas regiões (para ter certeza de que está correta):
Se 0\le t<3 então u(t-3)=0, logo f(t)=2-4\cdot0=2 — coincide com o enunciado.
Se t\ge3 então u(t-3)=1, logo f(t)=2-4\cdot1= -2 — também coincide. Portanto a representação está correta.
Passo 5
Agora vamos à transformada de Laplace. Primeiro a definição e propriedades que usaremos:
Definição: para uma função g(t) com crescimento apropriado,
Teorema do deslocamento em tempo (segunda propriedade de deslocamento): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s) então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,G(s).
Isto significa: ao “ligar” a partir de t=a uma função que é a cópia deslocada de g, a transformada ganha um fator e^{-as}.
Passo 6
Aplicando as propriedades ao nosso caso. Escrevemos
f(t)=2-4\,u(t-3).
Transformando termo a termo (pela linearidade):
\mathcal{L}\{2\}(s)=\dfrac{2}{s}.
Para \mathcal{L}\{4\,u(t-3)\}(s) podemos usar o teorema do deslocamento com g(t)=1. Sabemos \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s}. Como u(t-3)\cdot 1 = u(t-3)\cdot g(t-3) com g(t)=1, temos
\mathcal{L}\{u(t-3)\}(s)=e^{-3s}\,\frac{1}{s}.
Multiplicando pelo fator 4,
\mathcal{L}\{4\,u(t-3)\}(s)=\frac{4\,e^{-3s}}{s}.
Passo 7
Subtraindo os termos conforme a expressão f(t)=2-4u(t-3), obtemos a transformada final: