(0,2 ponto) Marque as opções verdadeiras: *
□ Se x_n converge para zero, então a série cujo termo geral é x_n é convergente;
□ Em toda série convergente, a sequência x_n de seu termo geral tende a zero;
□ A soma de duas séries divergentes é sempre uma série divergente;
Se x_n > 0 e a série com termo geral x_n converge,
□ então a série com termo geral x_n/(1+x_n) também converge.
□ Toda série convergente é absolutamente convergente.
□ Se x_n converge para zero, então a série cujo termo geral é x_n é convergente;
□ Em toda série convergente, a sequência x_n de seu termo geral tende a zero;
□ A soma de duas séries divergentes é sempre uma série divergente;
□ então a série com termo geral x_n/(1+x_n) também converge.
□ Toda série convergente é absolutamente convergente.
Passo 1
O enunciado pede que a gente marque as opções verdadeiras entre cinco frases sobre séries e sequências. Vou listar aqui cada uma exatamente como está no enunciado, numerando-as para facilitar:
- Se ) converge para zero, então a série cujo termo geral é ) é convergente.
- Em toda série convergente, a sequência ) de seu termo geral tende a zero.
- A soma de duas séries divergentes é sempre uma série divergente.
- Se ) e a série com termo geral ) converge, então a série com termo geral ) também converge.
- Toda série convergente é absolutamente convergente.
Informações dadas (implícitas nas frases):
- Em (4) sabemos que cada termo ) é positivo e que ) converge.
- Nas demais frases não há hipóteses adicionais além do que é dito.
No Passo 2 em diante vou analisar cada afirmação, explicar os conceitos necessários (e por quê), e dar provas ou contraexemplos bem mastigados para decidir Verdadeiro/Falso.
Passo 2
Conceitos essenciais — o que você precisa saber antes de avaliar as afirmações:
- Série e seus termos: a série
) é a soma dos termos
). Chamamos de
a -ésima soma parcial. A série converge se a sequência ) das somas parciais converge finitamente. - Condição necessária para convergência de série: se
) converge então necessariamente
). Prova curta:
e se então . - Mas atenção:
) não é suficiente para garantir que
) converge. Um clássico é a série harmônica
) cuja termo vai a zero mas a série diverge.
Vou provar e exemplificar isso com detalhes no próximo passo.
Passo 3
Avaliação da afirmação 2 (que dará suporte à 1): “Em toda série convergente, a sequência
) de seu termo geral tende a zero.”
Prova detalhada e didática:
Prova detalhada e didática:
- Seja
) a
-ésima soma parcial. - Se a série converge, existe ) tal que ) quando ).
- Observe que
). Como
e , temos . - Portanto a afirmação 2 é verdadeira. Vou marcar mentalmente: 2 é Verdadeira.
Passo 4
Avaliação da afirmação 1: “Se
) converge para zero, então a série cujo termo geral é
) é convergente.”
Explicação e contraexemplo:
Explicação e contraexemplo:
- Já vimos que ) é necessário, mas não suficiente. É comum confundir isso — o fato de os termos irem a zero é só uma primeira condição que deve ser satisfeita, não garante soma finita.
- Contraexemplo clássico (muito usado em provas): a série harmônica
tem termo geral ) e ). Mas a série diverge. Uma prova simples da divergência por agrupamento: em cada bloco a soma é maior ou igual a , então as somas parciais crescem sem limite, logo diverge. - Conclusão: a afirmação 1 é falsa.
Passo 5
Avaliação da afirmação 3: “A soma de duas séries divergentes é sempre uma série divergente.”
Vamos entender o que isso quer dizer e produzir um contraexemplo bem direto:
Vamos entender o que isso quer dizer e produzir um contraexemplo bem direto:
- Se ) e ) divergem, isso não impede que ) convirja: as divergências podem “se cancelar”.
- Contraponto explícito (contraexemplo): tome
- A série ) é a harmônica → diverge.
- A série
) também diverge, porque
diverge (subtrair uma série convergente não muda a divergência causada por ). - Mas a soma termo a termo é
e ) converge (p-série com ). - Portanto temos duas séries divergentes cuja soma é convergente.
- Conclusão: a afirmação 3 é falsa.
Passo 6
Avaliação da afirmação 4: “Se
) e a série com termo geral
) converge, então a série com termo geral
) também converge.”
Explicação com o teste da comparação para séries com termos não negativos:
Explicação com o teste da comparação para séries com termos não negativos:
- Quando
), temos
. Isso porque dividir por diminui o valor: . - O teste de comparação (caso de termos não-negativos) diz: se
para todo e ) converge, então ) também converge. - Aplicando aqui: com
e , e sabendo que ) converge, concluímos que ) converge. - Conclusão: a afirmação 4 é verdadeira.
Passo 7
Avaliação da afirmação 5: “Toda série convergente é absolutamente convergente.”
Explicação e contraexemplo (convergência condicional):
Explicação e contraexemplo (convergência condicional):
- Definição rápida: uma série ) é absolutamente convergente se ) converge. Toda série absolutamente convergente é convergente, mas o recíproco não vale sempre.
- Contraexemplo clássico: a série alternada harmônica
(ou seja, ). Pelo teste de Leibniz (alternating series test), essa série converge porque os termos em módulo ) decrescem para zero e mudam de sinal. Logo ) converge.
Porém ) que é a série harmônica e diverge. - Portanto existe pelo menos uma série convergente que não é absolutamente convergente (ela é chamada condicionalmente convergente).
- Conclusão: a afirmação 5 é falsa.
Passo 8
Resumo final do raciocínio (rápido e animador):
- Você aprendeu a diferença entre condição necessária (
) e condição suficiente (não existe garantia só com ). - Viu exemplos clássicos: série harmônica (diverge apesar de termos tenderem a 0), alternante harmônica (converge, mas não absolutamente), e um truque para somas que convergem por cancelamento.
Resposta
Opção 1: Falsa
Opção 2: Verdadeira
Opção 3: Falsa
Opção 4: Verdadeira
Opção 5: Falsa
Opção 2: Verdadeira
Opção 3: Falsa
Opção 4: Verdadeira
Opção 5: Falsa