(0,2 ponto) Marque as opções verdadeiras: *
□ Se x_n converge para zero, então a série cujo termo geral é x_n é convergente;
□ Em toda série convergente, a sequência x_n de seu termo geral tende a zero;
□ A soma de duas séries divergentes é sempre uma série divergente;
Se x_n > 0 e a série com termo geral x_n converge,
□ então a série com termo geral x_n/(1+x_n) também converge.
□ Toda série convergente é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado pede que a gente marque as opções verdadeiras entre cinco frases sobre séries e sequências. Vou listar aqui cada uma exatamente como está no enunciado, numerando-as para facilitar:
  1. Se \(x_n) converge para zero, então a série cujo termo geral é \(x_n) é convergente.
  2. Em toda série convergente, a sequência \(x_n) de seu termo geral tende a zero.
  3. A soma de duas séries divergentes é sempre uma série divergente.
  4. Se \(x_n>0) e a série com termo geral \(x_n) converge, então a série com termo geral \(\dfrac{x_n}{1+x_n}) também converge.
  5. Toda série convergente é absolutamente convergente.
Informações dadas (implícitas nas frases):
  • Em (4) sabemos que cada termo \(x_n) é positivo e que \(\sum x_n) converge.
  • Nas demais frases não há hipóteses adicionais além do que é dito.
No Passo 2 em diante vou analisar cada afirmação, explicar os conceitos necessários (e por quê), e dar provas ou contraexemplos bem mastigados para decidir Verdadeiro/Falso.

Passo 2

Conceitos essenciais — o que você precisa saber antes de avaliar as afirmações:
  • Série e seus termos: a série \(\sum_{n=1}^{\infty} x_n) é a soma dos termos \(x_n). Chamamos de s_N=\sum_{n=1}^{N} x_n a N-ésima soma parcial. A série converge se a sequência \(s_N) das somas parciais converge finitamente.
  • Condição necessária para convergência de série: se \(\sum x_n) converge então necessariamente \(x_n\to0). Prova curta: x_n = s_n - s_{n-1} e se s_n\to s então x_n\to s-s=0.
  • Mas atenção: \(x_n\to0) não é suficiente para garantir que \(\sum x_n) converge. Um clássico é a série harmônica \(\sum 1/n) cuja termo vai a zero mas a série diverge.
    Vou provar e exemplificar isso com detalhes no próximo passo.

Passo 3

Avaliação da afirmação 2 (que dará suporte à 1): “Em toda série convergente, a sequência \(x_n) de seu termo geral tende a zero.”
Prova detalhada e didática:
  • Seja \(s_N=\sum_{n=1}^{N} x_n) a N-ésima soma parcial.
  • Se a série converge, existe \(s\in\mathbb{R}) tal que \(s_N\to s) quando \(N\to\infty).
  • Observe que \(x_N = s_N - s_{N-1}). Como s_N\to s e s_{N-1}\to s, temos x_N\to s-s=0.
  • Portanto a afirmação 2 é verdadeira. Vou marcar mentalmente: 2 é Verdadeira.

Passo 4

Avaliação da afirmação 1: “Se \(x_n) converge para zero, então a série cujo termo geral é \(x_n) é convergente.”
Explicação e contraexemplo:
  • Já vimos que \(x_n\to0) é necessário, mas não suficiente. É comum confundir isso — o fato de os termos irem a zero é só uma primeira condição que deve ser satisfeita, não garante soma finita.
  • Contraexemplo clássico (muito usado em provas): a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}tem termo geral \(x_n=\dfrac{1}{n}) e \(x_n\to0). Mas a série diverge. Uma prova simples da divergência por agrupamento: 1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdotsem cada bloco a soma é maior ou igual a 1/2, então as somas parciais crescem sem limite, logo diverge.
  • Conclusão: a afirmação 1 é falsa.

Passo 5

Avaliação da afirmação 3: “A soma de duas séries divergentes é sempre uma série divergente.”
Vamos entender o que isso quer dizer e produzir um contraexemplo bem direto:
  • Se \(\sum a_n) e \(\sum b_n) divergem, isso não impede que \(\sum (a_n+b_n)) convirja: as divergências podem “se cancelar”.
  • Contraponto explícito (contraexemplo): tome a_n=\frac{1}{n},\qquad b_n=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}.
    • A série \(\sum a_n = \sum \dfrac{1}{n}) é a harmônica → diverge.
    • A série \(\sum b_n = -\sum \dfrac{1}{n} + \sum \dfrac{1}{n^2}) também diverge, porque -\sum 1/n diverge (subtrair uma série convergente \sum 1/n^2 não muda a divergência causada por -\sum 1/n).
    • Mas a soma termo a termo é a_n+b_n = \frac{1}{n} +\Big(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\Big)=\frac{1}{n^2},e \(\sum \dfrac{1}{n^2}) converge (p-série com p=2>1).
    • Portanto temos duas séries divergentes cuja soma é convergente.
  • Conclusão: a afirmação 3 é falsa.

Passo 6

Avaliação da afirmação 4: “Se \(x_n>0) e a série com termo geral \(x_n) converge, então a série com termo geral \(\dfrac{x_n}{1+x_n}) também converge.”
Explicação com o teste da comparação para séries com termos não negativos:
  • Quando \(x_n>0), temos \displaystyle 0\le \frac{x_n}{1+x_n}\le x_n. Isso porque dividir por 1+x_n>1 diminui o valor: \dfrac{x_n}{1+x_n}\le x_n.
  • O teste de comparação (caso de termos não-negativos) diz: se 0\le a_n\le b_n para todo n e \(\sum b_n) converge, então \(\sum a_n) também converge.
  • Aplicando aqui: com a_n=\dfrac{x_n}{1+x_n} e b_n=x_n, e sabendo que \(\sum x_n) converge, concluímos que \(\sum \dfrac{x_n}{1+x_n}) converge.
  • Conclusão: a afirmação 4 é verdadeira.

Passo 7

Avaliação da afirmação 5: “Toda série convergente é absolutamente convergente.”
Explicação e contraexemplo (convergência condicional):
  • Definição rápida: uma série \(\sum x_n) é absolutamente convergente se \(\sum |x_n|) converge. Toda série absolutamente convergente é convergente, mas o recíproco não vale sempre.
  • Contraexemplo clássico: a série alternada harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}(ou seja, x_n = (-1)^{n+1}/n). Pelo teste de Leibniz (alternating series test), essa série converge porque os termos em módulo \(1/n) decrescem para zero e mudam de sinal. Logo \(\sum x_n) converge.
    Porém \(\sum |x_n| = \sum 1/n) que é a série harmônica e diverge.
  • Portanto existe pelo menos uma série convergente que não é absolutamente convergente (ela é chamada condicionalmente convergente).
  • Conclusão: a afirmação 5 é falsa.

Passo 8

Resumo final do raciocínio (rápido e animador):
  • Você aprendeu a diferença entre condição necessária ( x_n\to0) e condição suficiente (não existe garantia só com x_n\to0).
  • Viu exemplos clássicos: série harmônica (diverge apesar de termos tenderem a 0), alternante harmônica (converge, mas não absolutamente), e um truque para somas que convergem por cancelamento.

Resposta

Opção 1: Falsa
Opção 2: Verdadeira
Opção 3: Falsa
Opção 4: Verdadeira
Opção 5: Falsa

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