Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{(s-1)^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
\frac{1}{(s-1)^{3}}
O conteúdo envolvido é Transformada de Laplace e, em particular, a propriedade que diz que
\mathcal{L}\{t^{n}e^{a t}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
Para resolver, vamos reconhecer a forma \frac{1}{(s-a)^{n+1}} e usar essa propriedade.

Passo 2

Observamos que
\frac{1}{(s-1)^{3}}=\frac{1}{(s-a)^{n+1}}
com a=1 e n+1=3, logo n=2.

Passo 3

Pela propriedade da Transformada de Laplace, temos
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{1}{(s-1)^{3}}\biggr\} =\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{2!}{(s-1)^{3}}\cdot\frac{1}{2!}\biggr\} =\frac{1}{2!}\,t^{2}e^{1\cdot t} =\frac{t^{2}}{2}\,e^{t}.

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{1}{(s-1)^{3}}\biggr\} =\frac{t^{2}}{2}\,e^{t}.

Exercícios relacionados