Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{4 s}{4 s^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\bigl(\tfrac{4s}{4s^{2}+1}\bigr).
O conteúdo envolvido é reconhecer na expressão uma forma padrão da transformada de uma função trigonométrica:
\mathcal{L}\{ \cos(at)\}(s) =\frac{s}{s^2 + a^2}.

Passo 2

Fatoramos o denominador para evidenciar o quadrado de um termo:
4s^2 + 1 = 4\bigl(s^2 + \tfrac{1}{4}\bigr).

Passo 3

Reescrevemos a função no domínio s:
\frac{4s}{4s^2+1} = \frac{4s}{4\bigl(s^2 + \tfrac{1}{4}\bigr)} = \frac{s}{s^2 + \bigl(\tfrac12\bigr)^2}.

Passo 4

Comparando com o padrão
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s) =\frac{s}{s^2 + a^2},
vemos que a=\tfrac12. Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl(\frac{s}{s^2 + \bigl(\tfrac12\bigr)^2}\Bigr) =\cos\bigl(\tfrac12\,t\bigr).

Resposta

\cos\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr).

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