Use Transformada de Laplace para calcular as integrais impróprias:
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}-e^{-3 t}}{t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{t}\,dt.
O conteúdo envolve transformada de Laplace e técnica de diferenciação em relação a um parâmetro.

Passo 2

Definimos
G(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a t}}{t}\,dt
para a>0. Vamos diferenciar G(a) em relação a a.

Passo 3

Como \partial_a e^{-a t}=-t\,e^{-a t}, trocamos a ordem de derivação e integração:
G'(a) =\frac{d}{da}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a t}}{t}\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial a}\Bigl(\frac{e^{-a t}}{t}\Bigr)\,dt =-\int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt

Passo 4

O integral \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt é
\frac{1}{a}
portanto
G'(a)=-\frac{1}{a}

Passo 5

Integrando G'(a) obtemos
G(a)=-\ln a + C
Para determinar C consideramos a\to\infty. Nesse limite, G(a)\to0, logo C=0. Assim,
G(a)=-\ln a

Passo 6

A integral solicitada é
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{t}\,dt =G(1)-G(3)
logo
G(1)-G(3)=-\ln(1)-\bigl(-\ln(3)\bigr)=\ln(3)

Resposta

\ln(3)

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