Determine a transformada de Laplace inversa dos sinais definidos nos itens a seguir .
U(s)=\frac{10}{(s+1)\left(s^{2}+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
U(s)=\frac{10}{(s+1)\bigl(s^{2}+4\bigr)}.
O conteúdo necessário envolve decomposição em frações parciais e as transformadas inversas conhecidas de 1/(s+a), s/(s^{2}+\omega^{2}) e 1/(s^{2}+\omega^{2}).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais: suponha
\frac{10}{(s+1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s+1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s^{2}+4) obtemos
10=A\bigl(s^{2}+4\bigr)+(Bs+C)(s+1).

Passo 3

Para encontrar A, faça s=-1, assim
10 = A\bigl((-1)^{2}+4\bigr) = A\cdot5 \quad\Longrightarrow\quad A=2.

Passo 4

Com A=2, reescrevendo o numerador:
10 = 2\bigl(s^{2}+4\bigr)+(Bs+C)(s+1) =2s^{2}+8 + Bs^{2}+Bs+Cs+C.
Agrupando termos:
10 = (2+B)s^{2}+(B+C)s+(8+C).
Igualando coeficientes de potências de s:
2+B=0 \;\Rightarrow\; B=-2, \quad B+C=0 \;\Rightarrow\; C=2, \quad 8+C=10 \;\Rightarrow\; C=2\\ (\text{consistente}).

Passo 5

Logo a decomposição é
\frac{10}{(s+1)(s^{2}+4)} =\frac{2}{s+1} + \frac{-2s+2}{s^{2}+4} =\frac{2}{s+1} - \frac{2s}{s^{2}+4} + \frac{2}{s^{2}+4}.
Agora aplicamos a transformada de Laplace inversa em cada termo:
  1. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{2}{s+1}\Bigr\}=2e^{-t}.
  2. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{-\frac{2s}{s^{2}+4}\Bigr\}=-2\cos(2t).
  3. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{2}{s^{2}+4}\Bigr\}=\sin(2t).

Resposta

u(t)=2e^{-t}-2\cos(2t)+\sin(2t), \quad t\ge0.

Exercícios relacionados