Determine a transformada de Laplace inversa dos sinais definidos nos itens a seguir .
U(s)=\frac{e^{-2 s}}{s^{2}(s+2)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
U(s)=\frac{e^{-2s}}{s^{2}(s+2)}.
Vamos usar duas ideias principais:
  1. decompor em frações parciais a parte
F(s)=\frac{1}{s^{2}(s+2)},
  1. aplicar o teorema do deslocamento no tempo, que diz
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(t-a)\,u(t-a),
onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} e u(t) é o degrau de Heaviside.

Passo 2

Decompondo
\frac{1}{s^{2}(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+2), obtém-se
1 = A\,s(s+2) + B\,(s+2) + C\,s^{2}.
Desenvolvendo em potências de s:
1 = (A+C)\,s^{2} + (2A+B)\,s + 2B.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ 2A + B = 0,\\\\ 2B = 1, \end{cases}
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B=\tfrac12,\quad A=-\tfrac14,\quad C=+\tfrac14.

Passo 3

Escrevendo F(s) com os valores encontrados:
F(s)= -\tfrac14\frac{1}{s} + \tfrac12\frac{1}{s^2} + \tfrac14\frac{1}{s+2}.
Fazendo a transformada inversa termo a termo (para t\ge0):
f(t)= -\tfrac14\cdot1 + \tfrac12\cdot t + \tfrac14\cdot e^{-2t} = -\tfrac14 + \tfrac12\,t + \tfrac14\,e^{-2t}.

Passo 4

Como U(s)=e^{-2s}F(s), pelo teorema do deslocamento em tempo:
u(t)=f(t-2)\,u(t-2).
Substituindo t\mapsto t-2 em f:
u(t)=\Bigl(-\tfrac14 + \tfrac12\,(t-2) + \tfrac14\,e^{-2(t-2)}\Bigr)\,u(t-2).

Resposta

u(t)= \begin{cases} 0, & t<2,\\[6pt] -\tfrac14 + \tfrac12\,(t-2) + \tfrac14\,e^{-2(t-2)}, & t\ge2. \end{cases}]

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