Determine a transformada de Laplace de:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função
. Informação dada e o que é pedido:
- Função dada:
. - Pedido: calcular
, isto é, a integral de Laplace da função. - Não há outras informações explícitas; vamos trabalhar com a definição da transformada de Laplace e usar identidades conhecidas para
.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar):
Explicando as variáveis:
é a variável de tempo (variável de integração),
é o parâmetro complexo da transformada (na prática num exercício de prova costuma-se considerar
real e suficientemente grande para a integral convergir). A condição de convergência virá quando avaliarmos a integral.
Passo 3
Identidade útil para
:
Aplicando com
obtemos:
Isso é importante porque integrais de exponenciais são fáceis de calcular; por isso transformamos
em soma de exponenciais.
Passo 4
Substituímos
na definição da transformada:
Colocando o fator
fora da integral e separando a soma:
Agora simplificamos os exponenciais dentro das integrais:
Passo 5
Cálculo das integrais exponenciais. Lembre que para uma constante
com
vale a fórmula
Aqui temos
e
. Para que as integrais convirjam precisamos de
e
. Em termos reais (se
real) isso significa
. (Se no enunciado se considerou
e
real, a condição
já garante convergência.) Aplicando a fórmula:
desde que as condições de convergência sejam satisfeitas.
Passo 6
Voltando à expressão com o fator
:
Agora fazemos a soma de frações com denominador comum
. Somando os numeradores:
Multiplicando pelo
obtemos:
Passo 7
Resumo da condição de validade: a expressão obtida vale quando as integrais convergem. Em termos gerais (para
complexo) a região de convergência é
. Para
e
real isso pode ser expressado simplesmente como
, que é o que aparece no enunciado.