Determine a transformada de Laplace de:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} (a t)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}, s>a

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função \operatorname{cosh}(at). Informação dada e o que é pedido:
  • Função dada: \operatorname{cosh}(at).
  • Pedido: calcular \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}, isto é, a integral de Laplace da função.
  • Não há outras informações explícitas; vamos trabalhar com a definição da transformada de Laplace e usar identidades conhecidas para \operatorname{cosh}.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar): \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Explicando as variáveis: t é a variável de tempo (variável de integração), s é o parâmetro complexo da transformada (na prática num exercício de prova costuma-se considerar s real e suficientemente grande para a integral convergir). A condição de convergência virá quando avaliarmos a integral.

Passo 3

Identidade útil para \operatorname{cosh}: \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Aplicando com x=at obtemos: \operatorname{cosh}(at)=\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}.
Isso é importante porque integrais de exponenciais são fáceis de calcular; por isso transformamos \operatorname{cosh} em soma de exponenciais.

Passo 4

Substituímos \operatorname{cosh}(at) na definição da transformada: \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}\,dt.
Colocando o fator 1/2 fora da integral e separando a soma: \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{at}\,dt+\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-at}\,dt\right).
Agora simplificamos os exponenciais dentro das integrais: \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt+\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt\right).

Passo 5

Cálculo das integrais exponenciais. Lembre que para uma constante k com \operatorname{Re}(k)>0 vale a fórmula \int_{0}^{\infty} e^{-k t}\,dt=\frac{1}{k}.
Aqui temos k_{1}=s-a e k_{2}=s+a. Para que as integrais convirjam precisamos de \operatorname{Re}(s-a)>0 e \operatorname{Re}(s+a)>0. Em termos reais (se s real) isso significa s>|a|. (Se no enunciado se considerou a>0 e s real, a condição s>a já garante convergência.) Aplicando a fórmula: \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\frac{1}{s-a},\qquad \int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt=\frac{1}{s+a},
desde que as condições de convergência sejam satisfeitas.

Passo 6

Voltando à expressão com o fator 1/2: \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\right).
Agora fazemos a soma de frações com denominador comum (s-a)(s+a)=s^{2}-a^{2}. Somando os numeradores: \frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}=\frac{s+a+s-a}{s^{2}-a^{2}}=\frac{2s}{s^{2}-a^{2}}.
Multiplicando pelo 1/2 obtemos: \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^{2}-a^{2}}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}.

Passo 7

Resumo da condição de validade: a expressão obtida vale quando as integrais convergem. Em termos gerais (para s complexo) a região de convergência é \operatorname{Re}(s)>|a|. Para a>0 e s real isso pode ser expressado simplesmente como s>a, que é o que aparece no enunciado.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\dfrac{s}{s^{2}-a^{2}},\; s>a

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