onde u(t) é a função degrau unitário.
O que precisamos produzir é a transformada de Laplace de \operatorname{sinal}(t) usando essa representação.
Passo 2
Definição e esclarecimento (sem ainda resolver): existem duas versões da transformada de Laplace que aparecem com frequência:
A transformada unilateral (causal) normalmente é \displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.
A transformada bilateral (duas faces) é \displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.
Neste exercício a sugestão envolve u(-t) e valores de t<0, portanto a intenção é usar a transformada bilateral. Vou, então, calcular a transformada bilateral da representação sugerida e analisar a existência / região de convergência.
Passo 3
Relembrando como calcular a transformada bilateral de funções exponenciais multiplicadas por degrau:
Para e^{-a t}u(t) com a\in\mathbb{R}, a transformada bilateral é só a integral de 0 a \infty:
Assim, a expressão formal obtida pelo procedimento sugerido é
\mathcal{L}\{\operatorname{sinal}(t)\}(s)=\frac{2}{s}\quad\text{(obtida como limite pointwise quando }a\to0^{+}\text{)}.
Passo 6
Mas atenção importante sobre a existência (análise da região de convergência):
Para cada a>0 as duas parcelas têm condições de convergência distintas:
\frac{1}{s+a} existe para \operatorname{Re}(s)>-a (praticamente \operatorname{Re}(s)>-a),
-\frac{1}{s-a} existe para \operatorname{Re}(s)<a.
A região de convergência comum para soma das duas é a interseção \{ \operatorname{Re}(s)>-a\}\cap\{\operatorname{Re}(s)<a\}, que é o intervalo vertical -a<\operatorname{Re}(s)<a.
Quando tomamos a\to 0^{+} essa faixa se fecha para \operatorname{Re}(s)=0. Ou seja, não permanece uma faixa vertical aberta onde a transformada bilateral clássica converge. Em particular, não existe uma região aberta de convergência comum para a\to0^{+}.
Consequência: a transformada bilateral clássica (como função analítica num domínio vertical não vazio) de \operatorname{sinal}(t) NÃO existe — a região de convergência é vazia como conjunto aberto. O resultado \tfrac{2}{s} aparece como limite formal ou no sentido das distribuições (transformada na teoria das distribuições, ou tomando limites a partir de regularizações), mas não como uma transformada bilateral clássica com região de convergência não-vazia.
Passo 7
Resumo interpretativo e dica para prova (como usar isto na hora da prova):
Se a questão for estritamente sobre transformada bilateral clássica e pedir a região de convergência, a resposta correta é que a transformada bilateral de \operatorname{sinal}(t) não existe (ou tem ROC vazia).
Se aceitarem regularização pelo limite sugerido (ou se estiver trabalhando com transformadas na teoria das distribuições), a expressão final formal é \displaystyle \frac{2}{s}.
Em provas, vale dizer explicitamente qual interpretação você está usando: “como distribuição / por regularização obtemos \tfrac{2}{s}, mas como transformada bilateral clássica não existe (ROC vazio)”.
Resposta
\displaystyle \frac{2}{s} (obtida como limite/regularização)
A transformada bilateral clássica de \operatorname{sinal}(t) não existe porque não há região de convergência aberta comum.