Determine a transformada de Laplace de
x(t)=\operatorname{sinal}(t)= \begin{cases}1, & t>0 \\\\ -1, & t<0\end{cases}
Sugestão:
\operatorname{sinal}(t)=\lim _{a \rightarrow 0^{+}}\left[e^{-a t} u(t)-e^{a t} u(-t)\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função sinal
x(t)=\operatorname{sinal}(t)=\begin{cases}1,& t>0,\\\\ -1,& t<0.\end{cases}
Foi dada uma sugestão que representa \operatorname{sinal}(t) como limite:
\operatorname{sinal}(t)=\lim_{a\to 0^{+}}\bigl[e^{-a t}u(t)-e^{a t}u(-t)\bigr],
onde u(t) é a função degrau unitário.
O que precisamos produzir é a transformada de Laplace de \operatorname{sinal}(t) usando essa representação.

Passo 2

Definição e esclarecimento (sem ainda resolver): existem duas versões da transformada de Laplace que aparecem com frequência:
  1. A transformada unilateral (causal) normalmente é \displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.
  2. A transformada bilateral (duas faces) é \displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.
Neste exercício a sugestão envolve u(-t) e valores de t<0, portanto a intenção é usar a transformada bilateral. Vou, então, calcular a transformada bilateral da representação sugerida e analisar a existência / região de convergência.

Passo 3

Relembrando como calcular a transformada bilateral de funções exponenciais multiplicadas por degrau:
  1. Para e^{-a t}u(t) com a\in\mathbb{R}, a transformada bilateral é só a integral de 0 a \infty:
\mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-a t}e^{-s t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt.
Essa integral converge se, e somente se, \operatorname{Re}(s+a)>0. Quando converge, a integral é uma integral exponencial simples:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s+a)t}}{-(s+a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+a},
ou seja,
\mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}(s)=\frac{1}{s+a},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>-a.
  1. Para e^{a t}u(-t) com a\in\mathbb{R}, a transformada bilateral é a integral de -\infty a 0:
\mathcal{L}\{e^{a t}u(-t)\}(s)=\int_{-\infty}^{0} e^{a t}e^{-s t}\,dt=\int_{-\infty}^{0} e^{-(s-a)t}\,dt.
Essa integral converge se, e somente se, \operatorname{Re}(s-a)<0 (porque a variável de integração vai para -\infty). Quando converge, avaliamos:
\int_{-\infty}^{0} e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{-\infty}^{0}=-\frac{1}{s-a},
portanto
\mathcal{L}\{e^{a t}u(-t)\}(s)=-\frac{1}{s-a},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)<a.

Passo 4

Agora aplicamos a linearidade à sugestão. Para cada a>0 fixo, a transformada bilateral de
x_a(t):=e^{-a t}u(t)-e^{a t}u(-t)
é
\mathcal{L}\{x_a\}(s)=\frac{1}{s+a}-\Big(-\frac{1}{s-a}\Big)=\frac{1}{s+a}+\frac{1}{s-a}.
Faço a soma das frações:
\frac{1}{s+a}+\frac{1}{s-a}=\frac{(s-a)+(s+a)}{(s+a)(s-a)}=\frac{2s}{s^{2}-a^{2}}.

Passo 5

Agora tomamos o limite a\to 0^{+}. Mantendo s fixo (e s\neq 0 para evitar divisão por zero), temos
\lim_{a\to 0^{+}}\frac{2s}{s^{2}-a^{2}}=\frac{2s}{s^{2}}=\frac{2}{s}.
Assim, a expressão formal obtida pelo procedimento sugerido é
\mathcal{L}\{\operatorname{sinal}(t)\}(s)=\frac{2}{s}\quad\text{(obtida como limite pointwise quando }a\to0^{+}\text{)}.

Passo 6

Mas atenção importante sobre a existência (análise da região de convergência):
  • Para cada a>0 as duas parcelas têm condições de convergência distintas:
    • \frac{1}{s+a} existe para \operatorname{Re}(s)>-a (praticamente \operatorname{Re}(s)>-a),
    • -\frac{1}{s-a} existe para \operatorname{Re}(s)<a.
  • A região de convergência comum para soma das duas é a interseção \{ \operatorname{Re}(s)>-a\}\cap\{\operatorname{Re}(s)<a\}, que é o intervalo vertical -a<\operatorname{Re}(s)<a.
  • Quando tomamos a\to 0^{+} essa faixa se fecha para \operatorname{Re}(s)=0. Ou seja, não permanece uma faixa vertical aberta onde a transformada bilateral clássica converge. Em particular, não existe uma região aberta de convergência comum para a\to0^{+}.
Consequência: a transformada bilateral clássica (como função analítica num domínio vertical não vazio) de \operatorname{sinal}(t) NÃO existe — a região de convergência é vazia como conjunto aberto. O resultado \tfrac{2}{s} aparece como limite formal ou no sentido das distribuições (transformada na teoria das distribuições, ou tomando limites a partir de regularizações), mas não como uma transformada bilateral clássica com região de convergência não-vazia.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica para prova (como usar isto na hora da prova):
  • Se a questão for estritamente sobre transformada bilateral clássica e pedir a região de convergência, a resposta correta é que a transformada bilateral de \operatorname{sinal}(t) não existe (ou tem ROC vazia).
  • Se aceitarem regularização pelo limite sugerido (ou se estiver trabalhando com transformadas na teoria das distribuições), a expressão final formal é \displaystyle \frac{2}{s}.
  • Em provas, vale dizer explicitamente qual interpretação você está usando: “como distribuição / por regularização obtemos \tfrac{2}{s}, mas como transformada bilateral clássica não existe (ROC vazio)”.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{s} (obtida como limite/regularização)
A transformada bilateral clássica de \operatorname{sinal}(t) não existe porque não há região de convergência aberta comum.

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