Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Fourier do sinal
dado por
Informações fornecidas: a expressão do sinal
em termos de outro sinal
. Há uma figura anexada que mostra valores complexos relacionados a
no plano complexo; eu não usei esses valores numéricos na resolução, apenas considerei que a transformada de Fourier de
existe e a denote por
.
Passo 2
Vamos trabalhar com a definição da transformada de Fourier e uma mudança de variável para descobrir o efeito de deslocar um sinal no tempo. Seja um sinal qualquer
cuja transformada de Fourier é
Considere o sinal deslocado
. A transformada de Fourier dele é, por definição,
Agora fazemos a mudança de variável
. Então
e
. Os limites permanecem
a
. Substituindo:
Passo 3
Continuando a simplificação da integral do passo anterior, separamos o fator que depende de
:
A integral é exatamente
. Portanto obtemos a fórmula (teorema do deslocamento no tempo):
Expliquei cada passo: definição da transformada, mudança de variável
e extração do fator exponencial que não depende de
.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso: escolha
e
. Assim
tem transformada
Denotando a transformada de
por
, obtemos
Passo 5
Interpretação prática e dica para prova: o deslocamento no tempo por
não altera a magnitude do espectro, apenas adiciona um fator de fase linear em
. Em particular
e a fase de
é a fase de
menos
. Exemplo rápido e concreto: se
então
e
tem
, que segue diretamente da fórmula acima.