Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
g(t)=G_{4}(t-2)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Fourier do sinal g(t) dado por
g(t)=G_{4}(t-2).
Informações fornecidas: a expressão do sinal g(t) em termos de outro sinal G_{4}(t). Há uma figura anexada que mostra valores complexos relacionados a G_{4} no plano complexo; eu não usei esses valores numéricos na resolução, apenas considerei que a transformada de Fourier de G_{4}(t) existe e a denote por G_{4}(\omega).

Passo 2

Vamos trabalhar com a definição da transformada de Fourier e uma mudança de variável para descobrir o efeito de deslocar um sinal no tempo. Seja um sinal qualquer x(t) cuja transformada de Fourier é
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Considere o sinal deslocado x(t-t_{0}). A transformada de Fourier dele é, por definição,
\mathcal{F}\{x(t-t_{0})\}=\int_{-\infty}^{\infty} x(t-t_{0})\,e^{-j\omega t}\,dt.
Agora fazemos a mudança de variável u=t-t_{0}. Então t=u+t_{0} e dt=du. Os limites permanecem -\infty a +\infty. Substituindo:
\mathcal{F}\{x(t-t_{0})\}=\int_{-\infty}^{\infty} x(u)\,e^{-j\omega (u+t_{0})}\,du.

Passo 3

Continuando a simplificação da integral do passo anterior, separamos o fator que depende de t_{0}:
\mathcal{F}\{x(t-t_{0})\}=\left(e^{-j\omega t_{0}}\right)\int_{-\infty}^{\infty} x(u)\,e^{-j\omega u}\,du.
A integral é exatamente X(\omega). Portanto obtemos a fórmula (teorema do deslocamento no tempo):
\mathcal{F}\{x(t-t_{0})\}=e^{-j\omega t_{0}}\,X(\omega).
Expliquei cada passo: definição da transformada, mudança de variável u=t-t_{0} e extração do fator exponencial que não depende de u.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: escolha x(t)=G_{4}(t) e t_{0}=2. Assim g(t)=G_{4}(t-2) tem transformada
G(\omega)=\mathcal{F}\{g(t)\}=\mathcal{F}\{G_{4}(t-2)\}=e^{-j\omega\cdot 2}\,\mathcal{F}\{G_{4}(t)\}.
Denotando a transformada de G_{4}(t) por G_{4}(\omega), obtemos
G(\omega)=e^{-j2\omega}\,G_{4}(\omega).

Passo 5

Interpretação prática e dica para prova: o deslocamento no tempo por +2 não altera a magnitude do espectro, apenas adiciona um fator de fase linear em \omega. Em particular
|G(\omega)|=|G_{4}(\omega)|,
e a fase de G(\omega) é a fase de G_{4}(\omega) menos 2\omega. Exemplo rápido e concreto: se G_{4}(t)=\delta(t) então G_{4}(\omega)=1 e g(t)=\delta(t-2) tem G(\omega)=e^{-j2\omega}, que segue diretamente da fórmula acima.

Resposta

G(\omega)=e^{-j2\omega}\,G_{4}(\omega)

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