Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
(d) x(t)=t e^{-2|t|}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace bilateral de
x(t)=t\,e^{-2|t|},
bem como sua região de convergência (ROC) e o diagrama de polos e zeros em s. Para resolver vamos usar a definição
X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,e^{-s t}\,dt,
dividindo a integral em t<0 e t\ge0, e depois identificar polos e zeros.

Passo 2

Escrevemos
X(s) =\int_{-\infty}^{0}t\,e^{-2(-t)}\,e^{-s t}\,dt +\int_{0}^{\infty}t\,e^{-2t}\,e^{-s t}\,dt.
Para convergência em t\ge0 precisamos \Re(s+2)>0\Rightarrow \Re(s)>-2. Para t<0 precisamos \Re(2-s)>0\Rightarrow \Re(s)<2. Logo a ROC será -2<\Re(s)<2.

Passo 3

Calculamos cada termo usando fórmulas conhecidas:
Para \Re(s+2)>0,
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-(s+2)t}\,dt =\frac{1}{(s+2)^{2}}.
Para \Re(2-s)>0, definindo a=2-s,
\int_{-\infty}^{0}t\,e^{a t}\,dt =-\frac{1}{a^{2}} =-\frac{1}{(2-s)^{2}}.
Assim
X(s) =\frac{1}{(s+2)^{2}} -\frac{1}{(2-s)^{2}}.

Passo 4

Para simplificar combinamos as frações. Note que (2-s)^{2}=(s-2)^{2}.
X(s) =\frac{(2-s)^{2}-(s+2)^{2}}{(s+2)^{2}(2-s)^{2}} =\frac{-8s}{(s+2)^{2}(s-2)^{2}} =-\frac{8s}{(s^{2}-4)^{2}}.
A ROC, como visto, é
-2<\Re(s)<2.

Passo 5

Identificamos polos e zeros de X(s):
– Polos duplos em s=2 e em s=-2, pois o denominador (s-2)^{2}(s+2)^{2}.
– Zero simples em s=0, pois o numerador é -8s.

Passo 6

No plano s (eixo real horizontal, imaginário vertical) temos:
– Dois “ \times” sobre o eixo real em s=-2 (duplo) e em s=2 (duplo).
– Um “ \circ” em s=0 (zero simples).

Resposta

X(s) =-\frac{8s}{(s+2)^{2}(s-2)^{2}}, \quad \text{ROC: }-2<\Re(s)<2.
Diagrama de polos e zeros:
– Polos duplos em s=-2 e s=2.
– Zero simples em s=0.

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