Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace bilateral de
bem como sua região de convergência (ROC) e o diagrama de polos e zeros em
. Para resolver vamos usar a definição
dividindo a integral em
e
, e depois identificar polos e zeros.
Passo 2
Escrevemos
Para convergência em
precisamos
. Para
precisamos
. Logo a ROC será
.
Passo 3
Calculamos cada termo usando fórmulas conhecidas:
Para ,
Para
Para
, definindo
,
Assim
Passo 4
Para simplificar combinamos as frações. Note que
.
A ROC, como visto, é
Passo 5
Identificamos polos e zeros de
:
– Polos duplos em e em
, pois o denominador
.
– Zero simples em , pois o numerador é
.
– Polos duplos em
– Zero simples em
Passo 6
No plano
(eixo real horizontal, imaginário vertical) temos:
– Dois “ ” sobre o eixo real em
(duplo) e em
(duplo).
– Um “ ” em
(zero simples).
– Dois “
– Um “
Resposta
Diagrama de polos e zeros:
– Polos duplos em e
.
– Zero simples em .
– Polos duplos em
– Zero simples em