Determine a transformada de Laplace unilateral de cada um dos seguintes sinais e especifique as regiões de convergência correspondentes.
(c) x(t)=e^{-2 t} u(t)+e^{-4 t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace unilateral de
x(t)=e^{-2t}u(t)+e^{-4t}u(t)
e que especifiquemos a região de convergência (ROC). Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{0}^{\infty} x(t)\,e^{-s t}\,\mathrm{d}t,
aplicando a linearidade e a fórmula básica
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{a}\quad\text{para }\Re(a)>0.

Passo 2

Calculamos a transformada de e^{-2t}u(t). Pela definição,
\mathcal{L}\{e^{-2t}u(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-2t}\,e^{-s t}\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,\mathrm{d}t.
Como essa integral converge se e somente se \Re(s+2)>0, isto é, \Re(s)>-2, obtemos
\mathcal{L}\{e^{-2t}u(t)\} = \frac{1}{s+2},\quad \Re(s)>-2.

Passo 3

De modo análogo, para e^{-4t}u(t) temos
\mathcal{L}\{e^{-4t}u(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-4t}\,e^{-s t}\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{s+4},
convergindo quando \Re(s+4)>0, ou seja, \Re(s)>-4.

Passo 4

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{x(t)\} = \frac{1}{s+2} + \frac{1}{s+4}.
A região de convergência é a interseção das condições individuais, logo
\Re(s)>-2.

Resposta

\mathcal{L}\{x(t)\} = \frac{1}{s+2} + \frac{1}{s+4},\quad \Re(s)>-2.

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