Determine a Transformada de Laplace da seguinte função:
f(x)=cosh (a x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace da função $ f(x) = \cosh(a x) f(x) = cosh(a x) íáéçõáçõçãó\cosh$) se relaciona com funções exponenciais e aplicar as propriedades da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a função hiperbólica cosseno é definida. A função cosh(a x) pode ser escrita em termos de funções exponenciais. Sabia que:
cosh(a x) = e^a x + e^-a x2
Isso facilita bastante porque as Transformadas de Laplace para funções exponenciais são mais diretas de aplicar.

Passo 3

Agora, vamos usar a linearidade da Transformada de Laplace. A linearidade nos permite separar a transformada de uma soma em soma das transformadas. Então, aplicando a Transformada de Laplace na expressão que encontramos:
Lcosh(a x) = Le^a x + e^-a x2 = 12 Le^a x + 12 Le^-a x

Passo 4

Agora, vamos lembrar qual é a Transformada de Laplace de uma função exponencial. Temos que:
Le^k x = 1s - k
onde s é a variável da Transformada de Laplace e k é a constante no expoente. Vamos aplicar isso para k = a e k = -a.

Passo 5

Aplicando a fórmula da Transformada de Laplace para cada termo:
12 Le^a x = 12 cdot 1s - a
12 Le^-a x = 12 cdot 1s + a

Passo 6

Agora, vamos somar esses dois resultados:
Lcosh(a x) = 12 ( 1s - a + 1s + a )
Para simplificar essa expressão, precisamos encontrar um denominador comum.

Passo 7

Somando as frações:
1s - a + 1s + a = (s + a) + (s - a)(s - a)(s + a) = 2ss^2 - a^2
Substituindo de volta na expressão original:
Lcosh(a x) = 12 cdot 2ss^2 - a^2 = ss^2 - a^2

Resposta

A Transformada de Laplace de $ f(x) = \cosh(a x) $ é:
f(x) = cosh(a x)

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