Determine a Transformada de Laplace da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace da função $ f(x) = \cosh(a x)
\cosh$) se relaciona com funções exponenciais e aplicar as propriedades da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a função hiperbólica cosseno é definida. A função
pode ser escrita em termos de funções exponenciais. Sabia que:
Isso facilita bastante porque as Transformadas de Laplace para funções exponenciais são mais diretas de aplicar.
Passo 3
Agora, vamos usar a linearidade da Transformada de Laplace. A linearidade nos permite separar a transformada de uma soma em soma das transformadas. Então, aplicando a Transformada de Laplace na expressão que encontramos:
Passo 4
Agora, vamos lembrar qual é a Transformada de Laplace de uma função exponencial. Temos que:
onde
é a variável da Transformada de Laplace e
é a constante no expoente. Vamos aplicar isso para
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da Transformada de Laplace para cada termo:
Passo 6
Agora, vamos somar esses dois resultados:
Para simplificar essa expressão, precisamos encontrar um denominador comum.
Passo 7
Somando as frações:
Substituindo de volta na expressão original:
Resposta
A Transformada de Laplace de $ f(x) = \cosh(a x) $ é: