Questão 5
Determine o comprimento da curva
para
até
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Determine o comprimento da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir o comprimento da curva definida por $ y = 2x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente no tópico de comprimento de curvas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de arco e entender como calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula é:
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Ela nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ y = 2x^{\frac{3}{2}} $. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Usando a regra do poder para derivadas, onde $ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} $, temos:
Passo 4
Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral $ \int \sqrt{1 + 9x} , dx $. Para isso, fazemos uma substituição para facilitar.
Vamos deixar $ u = 1 + 9x $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar $ u^{\frac{1}{2}} $:
Portanto:
Voltando para $ u = 1 + 9x $:
Passo 7
Agora, avaliamos nos limites de $ x = 0 $ e $ x = 1 $:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Subtraindo:
Resposta
O comprimento da curva $ y = 2x^{\frac{3}{2}} $ de $ x = 0 $ a $ x = 1 $ é: