Questão 5
Determine o comprimento da curva y=2 x^32 para x=0 até x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir o comprimento da curva definida por $ y = 2x^{\frac{3}{2}} $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente no tópico de comprimento de curvas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de arco e entender como calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula é:
y = f(x)
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Ela nos dá a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ y = 2x^{\frac{3}{2}} $. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
y = 2x^32
Usando a regra do poder para derivadas, onde $ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} $, temos:
y

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^1 raiz1 + ( 3raizx )^2 , dx
Simplificando dentro da raiz:
( 3raizx )^2 = 9x
Então, a integral fica:
L = integral0^1 raiz1 + 9x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral $ \int \sqrt{1 + 9x} , dx $. Para isso, fazemos uma substituição para facilitar.
Vamos deixar $ u = 1 + 9x $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
integral raiz1 + 9x , dx
Substituindo na integral:
u = 1 + 9x

Passo 6

Agora, vamos integrar $ u^{\frac{1}{2}} $:
u^12
Portanto:
integral u^12 , du = 23 u^32
Voltando para $ u = 1 + 9x $:
L = 19 times 23 u^32 + C = 227 u^32 + C

Passo 7

Agora, avaliamos nos limites de $ x = 0 $ e $ x = 1 $:
Para $ x = 1 $:
x = 0
Para $ x = 0 $:
x = 1
Subtraindo:
x = 1

Resposta

O comprimento da curva $ y = 2x^{\frac{3}{2}} $ de $ x = 0 $ a $ x = 1 $ é:
y = 2x^32

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