O objetivo desse exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores
, temos que
com igualdade se e somente se
e
forem colineares (i.e.,proporcionais). (lembrar que se
e
, então o produto interno canônico
de
e
e a norma
de
são respectivamente dados por
e
Dado
aberto, seja
diferenciável em
. Mostre que a direção ao longo da qual a derivada direcional de
em
é máxima é ao longo de
.
com igualdade se e somente se
Dado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado f diferenciável em x₀, a direção que maximiza a derivada direcional de f em x₀ é justamente a direção de ∇f(x₀). Vamos usar definição de derivada direcional, gradiente e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Como f é diferenciável em x₀, a derivada direcional de f em x₀ ao longo de um vetor unitário v ∈ ℝⁿ é dada por
Aqui usamos que o gradiente ∇f(x₀) reúne todas as derivadas parciais e que o produto interno canônico é
Passo 3
Agora, aplicamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz aos vetores ∇f(x₀) e v:
Como escolhemos v unitário, temos
Passo 4
Para que a desigualdade vire igualdade (ou seja, para alcançar o valor máximo de
), os vetores ∇f(x₀) e v devem ser colineares e apontar na mesma direção. Logo, o v que maximiza D_v f(x₀) é
os valores de D_v f(x₀) então atingem o máximo
Resposta
A direção que maximiza a derivada direcional de f em x₀ é v=∇f(x₀)/|∇f(x₀)|, e o valor máximo da derivada direcional é |∇f(x₀)|.