O objetivo desse exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores u, v in R^n, temos que
|lang<=u, vrang<=| <=|u||v|,
com igualdade se e somente se u e v forem colineares (i.e.,proporcionais). (lembrar que se u=(u1, u2, ldots, un) e v=(v1, v2, ldots, vn), então o produto interno canônico lang<= u, vrang<= de u e v e a norma |u| de u são respectivamente dados por lang<= u, vrang<==u1 v1+u2 v2+cdots+un vn e |u|=raizlang<=u, urang<=)
Dado D subset R^n aberto, seja f: D R diferenciável em x0 in D. Mostre que a direção ao longo da qual a derivada direcional de f em x0 é máxima é ao longo de nabla f(x0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado f diferenciável em x₀, a direção que maximiza a derivada direcional de f em x₀ é justamente a direção de ∇f(x₀). Vamos usar definição de derivada direcional, gradiente e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Como f é diferenciável em x₀, a derivada direcional de f em x₀ ao longo de um vetor unitário v ∈ ℝⁿ é dada por
Dvf(x₀)=limhto0f(x₀+h,v)-f(x₀)h=lang<=nabla f(x₀),vrang<=
Aqui usamos que o gradiente ∇f(x₀) reúne todas as derivadas parciais e que o produto interno canônico é lang<= a,brang<==a₁b₁++aₙbₙ.

Passo 3

Agora, aplicamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz aos vetores ∇f(x₀) e v:
|lang<=nabla f(x₀),vrang<=|<=|nabla f(x₀)|,|v|
Como escolhemos v unitário, temos |v|=1, então
|Dvf(x₀)|=|lang<=nabla f(x₀),vrang<=|<=|nabla f(x₀)|

Passo 4

Para que a desigualdade vire igualdade (ou seja, para alcançar o valor máximo de Dvf(x₀)), os vetores ∇f(x₀) e v devem ser colineares e apontar na mesma direção. Logo, o v que maximiza D_v f(x₀) é
v=nabla f(x₀)|nabla f(x₀)|,
os valores de D_v f(x₀) então atingem o máximo |nabla f(x₀)|.

Resposta

A direção que maximiza a derivada direcional de f em x₀ é v=∇f(x₀)/|∇f(x₀)|, e o valor máximo da derivada direcional é |∇f(x₀)|.

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