Determine a transformada de Laplace da seguinte função:
h(t)=integral0^t de

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
h(t)=∫₀ᵗ δ(t−τ) cosh(τ) dτ
– o conteúdo é transformada de Laplace e a propriedade de “sifting” (seletora) do delta de Dirac.
Vamos precisar usar a definição de transformada de Laplace e a propriedade do delta em integrais.

Passo 2

Usando a propriedade de seleção do delta de Dirac, que diz que para t≥0
integral0^t δ(t−τ),f(τ),dτ = f(t),
podemos identificar f(τ)=cosh(τ). Logo
h(t)=∫₀ᵗ δ(t−τ) cosh(τ) dτ = cosh(t)

Passo 3

Agora basta usar que a transformada de Laplace de cosh(at) é
Lcosh(at)(s)=ss^2−a^2,
aqui com a=1. Portanto

Passo 4

final_answer

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