Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia: Queremos resolver a EDO linear de quarta ordem com coeficientes constantes
e condições iniciais nulas. Como é um problema forçado e temos condições nulas, vamos usar transformada de Laplace para obter a resposta ao impulso (função de Green) e então montar a solução por convolução.
Passo 2
Característica da parte homogênea: Primeiro, vemos a equação homogênea
cuja resolução dá as raízes
Isso mostra que a parte homogênea tem soluções básicas
, mas com condições iniciais nulas ficamos só com a parte forçada.
Passo 3
Transformada de Laplace e função de transferência: Aplicando Laplace em ambos os lados com
e
, como todas as derivadas iniciais são zero, obtemos
Logo a resposta ao impulso (função de Green) é
Passo 4
Decomposição em frações parciais e inversa de Laplace: Fazemos
e ainda
Invertendo cada termo, achamos
para
. Então a solução geral com iniciais nulas é a convolução
Passo 5
Solução por convolução: Como
e
vale zero para
, temos
y(t)=\int_{0}^{t}\Bigl(\tfrac12\sinh(t-\tau)-\tfrac12\sin(t-\tau)\Bigr),g(\tau),d\tau.
y(t)=\int_{0}^{t}\Bigl(\tfrac12\sinh(t-\tau)-\tfrac12\sin(t-\tau)\Bigr),g(\tau),d\tau.