Resolva o problema de valor inicial:
ly^(4)-y=g(t) y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=y^(3)(0)=0

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia: Queremos resolver a EDO linear de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4) - y = g(t)
e condições iniciais nulas. Como é um problema forçado e temos condições nulas, vamos usar transformada de Laplace para obter a resposta ao impulso (função de Green) e então montar a solução por convolução.

Passo 2

Característica da parte homogênea: Primeiro, vemos a equação homogênea
r^4 - 1 = 0
cuja resolução dá as raízes
r = ,pm1, r=pm i
Isso mostra que a parte homogênea tem soluções básicas e^t,e^-t,sin t,cos t, mas com condições iniciais nulas ficamos só com a parte forçada.

Passo 3

Transformada de Laplace e função de transferência: Aplicando Laplace em ambos os lados com Y(s)= Ly(t) e G(s)= Lg(t), como todas as derivadas iniciais são zero, obtemos
Y(s),=,G(s)s^4-1
Logo a resposta ao impulso (função de Green) é
H(s)=1s^4-1

Passo 4

Decomposição em frações parciais e inversa de Laplace: Fazemos
1s^4-1=121s^2-1-121s^2+1
e ainda
1s^2-1=12l(1s-1-1s+1r)
Invertendo cada termo, achamos
h(t)= L^-1H(s)=12sinh t-12sin t,
para t>0. Então a solução geral com iniciais nulas é a convolução

Passo 5

Solução por convolução: Como y(t)=h(t)*g(t) e h(t) vale zero para t<0, temos
y(t)=\int_{0}^{t}\Bigl(\tfrac12\sinh(t-\tau)-\tfrac12\sin(t-\tau)\Bigr),g(\tau),d\tau.

Resposta

y(t)=integral0^tl(tfrac12sinh(t-tau)-tfrac12sin(t-tau)r),g(tau),dtau

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