Dê um exemplo que mostre que a seguinte propriedade NÃO É verdadeira:
f * 1=f

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função constante 1 não é elemento neutro na operação de convolução de funções, isto é, que nem sempre vale f * 1 = f. O conteúdo aqui é convolução de funções e elemento neutro em operações.

Passo 2

A definição de convolução entre duas funções f e g é dada por
(f * g)(t) = integral-infty^+infty f(tau),g(t - tau),dtau

Passo 3

Para construir um contraexemplo simples, vamos usar a função degrau unitário u(t) como f(t):
f(t) = u(t) = 1,&t>=0,0,&t<0
E a função constante 1 definida por 1(t)=1 para todo t.

Passo 4

Agora calculamos a convolução (f * 1)(t):
(f * 1)(t) = integral-infty^+infty u(tau)cdot1(t-tau),dtau = integral-infty^t u(tau),dtau = integral0^t 1,dtau = t,u(t)

Passo 5

Como (f * 1)(t) = t,u(t) e f(t)=u(t), vemos que f * 1 neq f. Portanto a propriedade não vale para a convolução, e a identidade correta nessa operação é o impulso de Dirac, não a função constante 1.

Resposta

Por exemplo, tomando f(t)=u(t) e 1(t)=1, obtivemos (f*1)(t)=t,u(t)neq u(t)=f(t), logo f*1neq f.

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