(0,2 pt) Em relação aos conjuntos compactos * pode-se afirmar:
□ Interseção arbitrária de compactos é compacto;
□ O conjunto vazio é compacto;
□ o conjunto X=\{1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, \ldots, 1 / n, \ldots\} \cup\{0\} é compacto;
□ existe cobertura aberta que não admite subcobertura finita;
□ Todo compacto de R tem interior vazio.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre conjuntos compactos e pede que identifiquemos quais são verdadeiras. As afirmações são:
  1. Interseção arbitrária de compactos é compacto.
  2. O conjunto vazio é compacto.
  3. O conjunto X=\{1,1/2,1/3,1/4,\ldots,1/n,\ldots\}\cup\{0\} é compacto.
  4. Existe cobertura aberta que não admite subcobertura finita.
  5. Todo compacto de \mathbb{R} tem interior vazio.
Vou examinar cada afirmação, explicando a teoria necessária passo a passo, sem pular etapas.

Passo 2

Definição (essencial). Um conjunto K num espaço topológico é chamado compacto se, para toda cobertura por conjuntos abertos \{U_i\}_{i\in I} tal que K\subset\bigcup_{i\in I}U_i, existe um sub‑conjunto finito F\subset I com K\subset\bigcup_{i\in F}U_i.
Explicação didática: significa que, sempre que você cobre K por abertos (pode ser um monte deles, até infinitos), dá para escolher só alguns (finitos) desses abertos que já cobrem todo K. Essa é a propriedade que vamos usar para negar a afirmação 4) e para checar exemplos.

Passo 3

Afirmação 2: o conjunto vazio é compacto.
Argumento passo a passo: pegue uma cobertura aberta qualquer do conjunto vazio; por definição, uma família de abertos que cubra o vazio significa que para todo U na família temos nada a cobrir — a cobertura pode ser até vazia. A condição de existir uma subcobertura finita é satisfeita de forma trivial: a subfamília vazia (nenhum aberto) já cobre o vazio. Portanto o vazio é compacto.
Comentário encorajador: isso é só um caso de “vazio = vacuamente verdadeiro”, muito comum em provas.

Passo 4

Afirmação 1: interseção arbitrária de compactos é compacto (analisaremos no contexto de \mathbb{R} com a topologia usual, que é o contexto esperado quando se fala de propriedades em \mathbb{R}).
Teoria necessária (Heine–Borel): em \mathbb{R} (com a topologia usual) um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Vou usar esse critério porque é o mais prático em \mathbb{R}.
Prova em \mathbb{R}: seja \{K_\alpha\}_{\alpha\in A} uma família arbitrária de subconjuntos compactos de \mathbb{R}. Defina K=\bigcap_{\alpha\in A}K_\alpha.
  • Fechamento: cada K_\alpha é compacto em \mathbb{R}, logo é fechado. A interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada, então K é fechado.
  • Limitado: para cada \alpha existe M_\alpha>0 tal que K_\alpha\subset[-M_\alpha,M_\alpha] (pois cada compacto em \mathbb{R} é limitado). Seja M=\inf_{\alpha\in A}M_\alpha. Como cada M_\alpha é um número real finito, a infimum M é um número real finito (pode ser 0, mas é finito). Agora, para qualquer x\in K temos x\in K_\alpha para todo \alpha, então |x|\le M_\alpha para todo \alpha, portanto |x|\le M. Assim K\subset[-M,M], logo K é limitado.
    Como K é fechado e limitado em \mathbb{R}, pelo teorema de Heine–Borel K é compacto.
    Resumo do raciocínio: em \mathbb{R} a interseção arbitrária de conjuntos compactos continua sendo fechada e limitada, portanto compacta.
Observação: essa demonstração usou explicitamente que estamos em \mathbb{R} (onde vale Heine–Borel). Em espaços topológicos muito gerais a afirmação pode requerer cuidado (compactos nem sempre são fechados em espaços não‑Hausdorff), mas para a disciplina básica sobre \mathbb{R} a conclusão é válida.

Passo 5

Afirmação 3: o conjunto X=\{1,1/2,1/3,\dots,1/n,\dots\}\cup\{0\} é compacto (em \mathbb{R} com a topologia usual). Vou mostrar por Heine–Borel que X é fechado e limitado.
  1. Limitado: claramente todos os pontos 1/n têm 0\le 1/n\le 1 e 0\in X, então X\subset[0,1]. Logo X é limitado.
  2. Fechado: um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (limites de sequências de pontos do conjunto). A única possível ponto de acumulação crescente dessa sequência é 0 (porque 1/n\to 0 quando n\to\infty). O ponto 0 está incluído em X por definição. Não há outros pontos de acumulação. Portanto X é fechado.
    Conclusão: X é fechado e limitado em \mathbb{R}, logo compacto por Heine–Borel.
    Dica prática para prova: ao ver conjuntos formados por uma sequência mais seu limite, já acenda o sinal — esses conjuntos costumam ser compactos em \mathbb{R}.

Passo 6

Afirmação 4: “existe cobertura aberta que não admite subcobertura finita.”
Interpretação: colocada entre propriedades gerais sobre compactos, a leitura natural é que se trata de uma propriedade válida para conjuntos compactos em geral. Mas pela definição de compacto isso é impossível: a definição diz exatamente que todo conjunto compacto admite subcobertura finita para qualquer cobertura aberta. Logo a afirmação é falsa quando aplicada a um conjunto compacto (não pode existir uma cobertura aberta de um conjunto compacto sem subcobertura finita).
Explicação didática: se alguém te apresentar um conjunto e te disser “ele é compacto”, então qualquer cobertura aberta que esse conjunto tenha sempre tem uma subcobertura finita — afirmar o contrário seria contradizer a própria definição.

Passo 7

Afirmação 5: “Todo compacto de \mathbb{R} tem interior vazio.”
Isso é falso. Contra‑exemplo simples: o intervalo [0,1] é compacto em \mathbb{R} (fechado e limitado) e tem interior não vazio — de fato (0,1)\subset[0,1] e (0,1) é um aberto não vazio contido em [0,1]. Portanto nem todo compacto em \mathbb{R} tem interior vazio.
Comentário prático: alguns compactos em \mathbb{R} (como conjuntos perfeitos tipo Cantor) têm interior vazio, mas isso não é uma propriedade universal de todos os compactos.

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro
  4. Falso
  5. Falso

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