(0,2 pt) Em relação aos conjuntos compactos * pode-se afirmar:
□ Interseção arbitrária de compactos é compacto;
□ O conjunto vazio é compacto;
□ o conjunto
é compacto;
□ existe cobertura aberta que não admite subcobertura finita;
□ Todo compacto de R tem interior vazio.
□ Interseção arbitrária de compactos é compacto;
□ O conjunto vazio é compacto;
□ o conjunto
□ existe cobertura aberta que não admite subcobertura finita;
□ Todo compacto de R tem interior vazio.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre conjuntos compactos e pede que identifiquemos quais são verdadeiras. As afirmações são:
- Interseção arbitrária de compactos é compacto.
- O conjunto vazio é compacto.
- O conjunto
é compacto. - Existe cobertura aberta que não admite subcobertura finita.
- Todo compacto de
tem interior vazio.
Vou examinar cada afirmação, explicando a teoria necessária passo a passo, sem pular etapas.
Passo 2
Definição (essencial). Um conjunto
num espaço topológico é chamado compacto se, para toda cobertura por conjuntos abertos
tal que
, existe um sub‑conjunto finito
com
.
Explicação didática: significa que, sempre que você cobre por abertos (pode ser um monte deles, até infinitos), dá para escolher só alguns (finitos) desses abertos que já cobrem todo
. Essa é a propriedade que vamos usar para negar a afirmação 4) e para checar exemplos.
Explicação didática: significa que, sempre que você cobre
Passo 3
Afirmação 2: o conjunto vazio é compacto.
Argumento passo a passo: pegue uma cobertura aberta qualquer do conjunto vazio; por definição, uma família de abertos que cubra o vazio significa que para todo na família temos nada a cobrir — a cobertura pode ser até vazia. A condição de existir uma subcobertura finita é satisfeita de forma trivial: a subfamília vazia (nenhum aberto) já cobre o vazio. Portanto o vazio é compacto.
Comentário encorajador: isso é só um caso de “vazio = vacuamente verdadeiro”, muito comum em provas.
Argumento passo a passo: pegue uma cobertura aberta qualquer do conjunto vazio; por definição, uma família de abertos que cubra o vazio significa que para todo
Comentário encorajador: isso é só um caso de “vazio = vacuamente verdadeiro”, muito comum em provas.
Passo 4
Afirmação 1: interseção arbitrária de compactos é compacto (analisaremos no contexto de
com a topologia usual, que é o contexto esperado quando se fala de propriedades em
).
Teoria necessária (Heine–Borel): em (com a topologia usual) um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Vou usar esse critério porque é o mais prático em
.
Teoria necessária (Heine–Borel): em
Prova em
: seja
uma família arbitrária de subconjuntos compactos de
. Defina
.
- Fechamento: cada
é compacto em , logo é fechado. A interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada, então é fechado. - Limitado: para cada
existe tal que (pois cada compacto em é limitado). Seja . Como cada é um número real finito, a infimum é um número real finito (pode ser , mas é finito). Agora, para qualquer temos para todo , então para todo , portanto . Assim , logo é limitado.
Comoé fechado e limitado em , pelo teorema de Heine–Borel é compacto.
Resumo do raciocínio: ema interseção arbitrária de conjuntos compactos continua sendo fechada e limitada, portanto compacta.
Observação: essa demonstração usou explicitamente que estamos em
(onde vale Heine–Borel). Em espaços topológicos muito gerais a afirmação pode requerer cuidado (compactos nem sempre são fechados em espaços não‑Hausdorff), mas para a disciplina básica sobre
a conclusão é válida.
Passo 5
Afirmação 3: o conjunto
é compacto (em
com a topologia usual). Vou mostrar por Heine–Borel que
é fechado e limitado.
- Limitado: claramente todos os pontos
têm e , então . Logo é limitado. - Fechado: um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (limites de sequências de pontos do conjunto). A única possível ponto de acumulação crescente dessa sequência é
(porque quando ). O ponto está incluído em por definição. Não há outros pontos de acumulação. Portanto é fechado.
Conclusão:é fechado e limitado em , logo compacto por Heine–Borel.
Dica prática para prova: ao ver conjuntos formados por uma sequência mais seu limite, já acenda o sinal — esses conjuntos costumam ser compactos em.
Passo 6
Afirmação 4: “existe cobertura aberta que não admite subcobertura finita.”
Interpretação: colocada entre propriedades gerais sobre compactos, a leitura natural é que se trata de uma propriedade válida para conjuntos compactos em geral. Mas pela definição de compacto isso é impossível: a definição diz exatamente que todo conjunto compacto admite subcobertura finita para qualquer cobertura aberta. Logo a afirmação é falsa quando aplicada a um conjunto compacto (não pode existir uma cobertura aberta de um conjunto compacto sem subcobertura finita).
Explicação didática: se alguém te apresentar um conjunto e te disser “ele é compacto”, então qualquer cobertura aberta que esse conjunto tenha sempre tem uma subcobertura finita — afirmar o contrário seria contradizer a própria definição.
Interpretação: colocada entre propriedades gerais sobre compactos, a leitura natural é que se trata de uma propriedade válida para conjuntos compactos em geral. Mas pela definição de compacto isso é impossível: a definição diz exatamente que todo conjunto compacto admite subcobertura finita para qualquer cobertura aberta. Logo a afirmação é falsa quando aplicada a um conjunto compacto (não pode existir uma cobertura aberta de um conjunto compacto sem subcobertura finita).
Explicação didática: se alguém te apresentar um conjunto e te disser “ele é compacto”, então qualquer cobertura aberta que esse conjunto tenha sempre tem uma subcobertura finita — afirmar o contrário seria contradizer a própria definição.
Passo 7
Afirmação 5: “Todo compacto de
tem interior vazio.”
Isso é falso. Contra‑exemplo simples: o intervalo é compacto em
(fechado e limitado) e tem interior não vazio — de fato
e
é um aberto não vazio contido em
. Portanto nem todo compacto em
tem interior vazio.
Comentário prático: alguns compactos em (como conjuntos perfeitos tipo Cantor) têm interior vazio, mas isso não é uma propriedade universal de todos os compactos.
Isso é falso. Contra‑exemplo simples: o intervalo
Comentário prático: alguns compactos em
Resposta
- Verdadeiro
- Verdadeiro
- Verdadeiro
- Falso
- Falso