Determine a transformada de Laplace dos sinais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de
.
Informações dadas:
para
(pegamos isso do termo
, que indica sinal causal).
O que se pede: encontrar , ou seja, a transformada de Laplace do sinal.
Informações dadas:
O que se pede: encontrar
Passo 2
Definição e propriedade básica que vamos usar: a transformada de Laplace de um sinal causal
é
onde
é uma variável complexa e a integral converge numa região do plano
.
Também usaremos a propriedade da linearidade: se , então
Também usaremos a propriedade da linearidade: se
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para cada termo.
Passo 3
Aplicando linearidade ao nosso
:
Agora calculamos separadamente
e
.
Passo 4
Cálculo de
. Começo pela integral pela definição:
Uma maneira elegante de resolver é usar a exponencial complexa e tomar a parte real. Considere
Essa integral (uma geométrica impropria) vale, para
,
A transformada de
é a parte real disso, porque
. Assim
Calculando a parte real:
logo
válido para
(essa condição garante convergência da integral).
Passo 5
Cálculo de
. Pela definição:
Essa integral converge quando
, ou seja
, e seu valor é
Portanto
válido para
.
Passo 6
Agora somamos os dois resultados (linearidade) e tomamos a interseção das regiões de convergência:
e
se intersectam em
. Logo a transformada total é
com região de convergência
. Uma dica de prova: memorize os pares básicos como
e
; eles salvam tempo na hora da prova.