Determine a transformada de Laplace dos sinais abaixo:
f(x)=\left(\cos (2 t)+e^{-4 t}\right) u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(x)=\left(\cos (2 t)+e^{-4 t}\right) u(t).
Informações dadas:
\;f(t)=\cos(2t)+e^{-4t} para t\ge 0 (pegamos isso do termo u(t), que indica sinal causal).
O que se pede: encontrar F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, ou seja, a transformada de Laplace do sinal.

Passo 2

Definição e propriedade básica que vamos usar: a transformada de Laplace de um sinal causal g(t) é
\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge numa região do plano s.
Também usaremos a propriedade da linearidade: se g(t)=g_1(t)+g_2(t), então
\mathcal{L}\{g(t)\}=\mathcal{L}\{g_1(t)\}+\mathcal{L}\{g_2(t)\}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para cada termo.

Passo 3

Aplicando linearidade ao nosso f(t):
\mathcal{L}\{\cos(2t)+e^{-4t}\}=\mathcal{L}\{\cos(2t)\}+\mathcal{L}\{e^{-4t}\}.
Agora calculamos separadamente \mathcal{L}\{\cos(2t)\} e \mathcal{L}\{e^{-4t}\}.

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{\cos(2t)\}. Começo pela integral pela definição:
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(2t)\,dt.
Uma maneira elegante de resolver é usar a exponencial complexa e tomar a parte real. Considere
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{i2t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i2)t}\,dt.
Essa integral (uma geométrica impropria) vale, para \operatorname{Re}(s)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i2)t}\,dt=\frac{1}{s-i2}.
A transformada de \cos(2t) é a parte real disso, porque \cos(2t)=\operatorname{Re}\{e^{i2t}\}. Assim
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{s-i2}\right).
Calculando a parte real:
\frac{1}{s-i2}=\frac{s+i2}{s^{2}+4},
logo
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^{2}+4},
válido para \operatorname{Re}(s)>0 (essa condição garante convergência da integral).

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{e^{-4t}\}. Pela definição:
\mathcal{L}\{e^{-4t}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{-4t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)t}\,dt.
Essa integral converge quando \operatorname{Re}(s+4)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>-4, e seu valor é
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)t}\,dt=\frac{1}{s+4}.
Portanto
\mathcal{L}\{e^{-4t}\}=\frac{1}{s+4},
válido para \operatorname{Re}(s)>-4.

Passo 6

Agora somamos os dois resultados (linearidade) e tomamos a interseção das regiões de convergência: \operatorname{Re}(s)>0 e \operatorname{Re}(s)>-4 se intersectam em \operatorname{Re}(s)>0. Logo a transformada total é
F(s)=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1}{s+4},
com região de convergência \operatorname{Re}(s)>0. Uma dica de prova: memorize os pares básicos como \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}} e \mathcal{L}\{e^{a t}\}=\dfrac{1}{s-a}; eles salvam tempo na hora da prova.

Resposta

F(s)=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1}{s+4},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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