Determine a Transformada Z, a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada um dos sinais abaixo, utilizando a equação de definição da transformada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a Transformada Z da função $ x[n] = 3^{n} u[-n-1] $, além de identificar a região de convergência (ROC) e desenhar o diagrama de polos e zeros. Para resolver isso, vamos usar a definição da Transformada Z, que é uma ferramenta importante em processamento de sinais e sistemas discretos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada Z. Ela é dada por:
Neste caso, nossa função $ x[n] = 3^{n} u[-n-1] $ envolve a função degrau unitário $ u[n] $, que é definida como:
No nosso caso, temos $ u[-n-1] $, então vamos entender para quais valores de $ n $ essa função é diferente de zero.
Passo 3
Vamos analisar $ u[-n-1] $:
Resolvendo a desigualdade:
Então, $ u[-n-1] = 1 $ para $ n \leq -1 $ e 0 caso contrário. Portanto, nossa soma na Transformada Z vai de $ n = -\infty $ até $ n = -1 $.
Passo 4
Agora, vamos substituir $ x[n] = 3^{n} $ na definição da Transformada Z e ajustar os limites da soma:
Podemos reescrever $ z^{-n} $ como $ \left(\frac{1}{z}\right)^{-n} = z^{n} $, então:
Passo 5
Reconhecemos que essa soma é uma série geométrica. Para que a série
convirja, precisamos que o termo comum tenha módulo menor que 1:
Essa será nossa Região de Convergência (ROC).
Passo 6
Vamos calcular a soma da série geométrica infinita que vai de $ n = -\infty $ até $ n = -1 $:
Portanto, a Transformada Z é:
Passo 7
Agora, vamos identificar os pólos e zeros da função $ X(z) $.
-
Zeros: São os valores de $ z $ que fazem o numerador igual a zero. No nosso caso, o numerador é constante (1), então não há zeros.
-
Pólos: São os valores de $ z $ que fazem o denominador igual a zero:
Então, temos um pólo em $ z = \frac{1}{3} $.
Passo 8
Para o diagrama de polos e zeros, representamos o plano complexo $ z $ com polos marcados como ‘X’ e zeros como ‘O’. No nosso caso:
- Zero: Nenhum
- Pólo: Um ponto em $ z = \frac{1}{3} $
A ROC é $ |z| < \frac{1}{3} $, o que significa que está dentro do círculo de raio $ \frac{1}{3} $ no plano $ z $.
Resposta
A Transformada Z de $ x[n] = 3^{n} u[-n-1] $ é:
A Região de Convergência é $ |z| < \frac{1}{3} $.
O diagrama de polos e zeros possui um pólo em $ z = \frac{1}{3} $ e nenhum zero.