Determine a Transformada Z, a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada um dos sinais abaixo, utilizando a equação de definição da transformada:
x[n]=3^n u[-n-1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a Transformada Z da função $ x[n] = 3^{n} u[-n-1] $, além de identificar a região de convergência (ROC) e desenhar o diagrama de polos e zeros. Para resolver isso, vamos usar a definição da Transformada Z, que é uma ferramenta importante em processamento de sinais e sistemas discretos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada Z. Ela é dada por:
X(z) = sumn=-infty^infty x[n] z^-n
Neste caso, nossa função $ x[n] = 3^{n} u[-n-1] $ envolve a função degrau unitário $ u[n] $, que é definida como:
x[n] = 3^n u[-n-1]
No nosso caso, temos $ u[-n-1] $, então vamos entender para quais valores de $ n $ essa função é diferente de zero.

Passo 3

Vamos analisar $ u[-n-1] $:
u[-n-1]
Resolvendo a desigualdade:
u[-n-1] = 1, & -n - 1 >= 0 0, & -n - 1 < 0
Então, $ u[-n-1] = 1 $ para $ n \leq -1 $ e 0 caso contrário. Portanto, nossa soma na Transformada Z vai de $ n = -\infty $ até $ n = -1 $.

Passo 4

Agora, vamos substituir $ x[n] = 3^{n} $ na definição da Transformada Z e ajustar os limites da soma:
x[n] = 3^n
Podemos reescrever $ z^{-n} $ como $ \left(\frac{1}{z}\right)^{-n} = z^{n} $, então:
X(z) = sumn=-infty^-1 3^n z^-n

Passo 5

Reconhecemos que essa soma é uma série geométrica. Para que a série sumn=-infty^-1 (3z)^n convirja, precisamos que o termo comum tenha módulo menor que 1:
|3z| < 1 Rightarrow |z| < 13
Essa será nossa Região de Convergência (ROC).

Passo 6

Vamos calcular a soma da série geométrica infinita que vai de $ n = -\infty $ até $ n = -1 $:
n = -infty
Portanto, a Transformada Z é:
n = -1

Passo 7

Agora, vamos identificar os pólos e zeros da função $ X(z) $.
  • Zeros: São os valores de $ z $ que fazem o numerador igual a zero. No nosso caso, o numerador é constante (1), então não há zeros.
  • Pólos: São os valores de $ z $ que fazem o denominador igual a zero:
X(z)
Então, temos um pólo em $ z = \frac{1}{3} $.

Passo 8

Para o diagrama de polos e zeros, representamos o plano complexo $ z $ com polos marcados como ‘X’ e zeros como ‘O’. No nosso caso:
  • Zero: Nenhum
  • Pólo: Um ponto em $ z = \frac{1}{3} $
A ROC é $ |z| < \frac{1}{3} $, o que significa que está dentro do círculo de raio $ \frac{1}{3} $ no plano $ z $.

Resposta

A Transformada Z de $ x[n] = 3^{n} u[-n-1] $ é:
x[n] = 3^n u[-n-1]
A Região de Convergência é $ |z| < \frac{1}{3} $.
O diagrama de polos e zeros possui um pólo em $ z = \frac{1}{3} $ e nenhum zero.

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