A relação entre a entrada
e a saída
de um sistema é descrita pela equação diferencial abaixo. Use a transformada de Laplace para determinar a função de transferência e a resposta ao impulso do sistema
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a entrada $ x(t) $ e a saída $ y(t) $ de um sistema. O objetivo aqui é usar a transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do sistema e a resposta ao impulso $ h(t) $. A gente vai precisar entender o que é transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais para chegar nessas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. Isso facilita a resolução de equações diferenciais, porque derivadas no tempo se transformam em multiplicações por $ s $ no domínio de Laplace.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial dada. Mas antes disso, vamos escrever a equação claramente:
Aplicando a transformada de Laplace e lembrando que assumimos condições iniciais nulas (ou seja, $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $), temos:
Aqui, $ Y(s) $ é a transformada de $ y(t) $ e $ X(s) $ é a transformada de $ x(t) $.
Passo 4
Agora, vamos organizar a equação para isolar $ Y(s) $ em termos de $ X(s) $:
Dividindo ambos os lados por $ s^{2} + 5s + 6 $ para obter a função de transferência $ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} $:
Passo 5
Agora que temos a função de transferência $ H(s) $, queremos encontrar a resposta ao impulso $ h(t) $. Para isso, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de $ H(s) $.
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, a função de transferência fica:
Passo 6
Vamos decompor $ H(s) $ em frações parciais para facilitar a transformada inversa:
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 2)(s + 3) $:
Para encontrar $ A $ e $ B $, podemos escolher valores de $ s $ que simplificam a equação:
-
Para $ s = -3 $:
-
Para $ s = -2 $:
Então, $ H(s) $ fica:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Essa é a resposta ao impulso do sistema.
Resposta
A função de transferência do sistema é $ H(s) = \frac{s + 1}{s^{2} + 5s + 6} $ e a resposta ao impulso é $ h(t) = -e^{-2t} + 2e^{-3t} $.