A relação entre a entrada x(t) e a saída y(t) de um sistema é descrita pela equação diferencial abaixo. Use a transformada de Laplace para determinar a função de transferência e a resposta ao impulso do sistema h(t).
d^2 y(t)d t^2+5 d y(t)d t+6 y(t)=d x(t)d t+x(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a entrada $ x(t) $ e a saída $ y(t) $ de um sistema. O objetivo aqui é usar a transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do sistema e a resposta ao impulso $ h(t) $. A gente vai precisar entender o que é transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais para chegar nessas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. Isso facilita a resolução de equações diferenciais, porque derivadas no tempo se transformam em multiplicações por $ s $ no domínio de Laplace.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial dada. Mas antes disso, vamos escrever a equação claramente:
d^2 y(t)d t^2 + 5 d y(t)d t + 6 y(t) = d x(t)d t + x(t)
Aplicando a transformada de Laplace e lembrando que assumimos condições iniciais nulas (ou seja, $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $), temos:
y(0) = 0
Aqui, $ Y(s) $ é a transformada de $ y(t) $ e $ X(s) $ é a transformada de $ x(t) $.

Passo 4

Agora, vamos organizar a equação para isolar $ Y(s) $ em termos de $ X(s) $:
Y(s)
Dividindo ambos os lados por $ s^{2} + 5s + 6 $ para obter a função de transferência $ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} $:
X(s)

Passo 5

Agora que temos a função de transferência $ H(s) $, queremos encontrar a resposta ao impulso $ h(t) $. Para isso, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de $ H(s) $.
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
H(s)
Então, a função de transferência fica:
h(t)

Passo 6

Vamos decompor $ H(s) $ em frações parciais para facilitar a transformada inversa:
H(s)
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 2)(s + 3) $:
s + 1(s + 2)(s + 3) = As + 2 + Bs + 3
Para encontrar $ A $ e $ B $, podemos escolher valores de $ s $ que simplificam a equação:
  • Para $ s = -3 $:
    (s + 2)(s + 3)
  • Para $ s = -2 $:
    s + 1 = A(s + 3) + B(s + 2)
Então, $ H(s) $ fica:
A

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
h(t) = -e^-2t + 2e^-3t
Essa é a resposta ao impulso do sistema.

Resposta

A função de transferência do sistema é $ H(s) = \frac{s + 1}{s^{2} + 5s + 6} $ e a resposta ao impulso é $ h(t) = -e^{-2t} + 2e^{-3t} $.

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