Determine as transformadas de Fourier das seguintes funçōes:
F(\omega)=\frac{100}{j \omega(j \omega+10)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(\omega)=\frac{100}{j\omega\,(j\omega+10)}
ou seja, encontrar f(t) tal que
\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega).
Vamos usar frações parciais e os pares conhecidos
\mathcal{F}\{u(t)\}=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega},
\mathcal{F}\{e^{-at}u(t)\}=\frac{1}{a+j\omega}.

Passo 2

Fazendo frações parciais em
\frac{100}{j\omega\,(j\omega+10)}=\frac{A}{j\omega}+\frac{B}{j\omega+10},
temos
100=A\,(j\omega+10)+B\,(j\omega).
Tomando j\omega=0 100=10A\Rightarrow A=10. Comparando coeficientes de j\omega vem A+B=0\Rightarrow B=-10.
Logo
F(\omega)=\frac{10}{j\omega}-\frac{10}{j\omega+10}.

Passo 3

Note que
\frac{10}{j\omega}=\bigl(\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\bigr)\cdot10\;-\;10\pi\delta(\omega) =\mathcal{F}\{10u(t)\}-10\pi\delta(\omega),
e
\frac{10}{j\omega+10}=\mathcal{F}\{10e^{-10t}u(t)\}.
Portanto
F(\omega) =\mathcal{F}\{10u(t)\} -\mathcal{F}\{10e^{-10t}u(t)\} -10\pi\delta(\omega).

Passo 4

Aplicando a transformada inversa a cada termo:
  • \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{10u(t)\}\}=10\,u(t).
  • \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{10e^{-10t}u(t)\}\}=10\,e^{-10t}u(t).
  • \mathcal{F}^{-1}\{10\pi\delta(\omega)\}=10\cdot\frac{1}{2}=5. Assim
f(t)=10\,u(t)\;-\;10\,e^{-10t}u(t)\;-\;5.

Resposta

f(t)=10\,u(t)-10\,e^{-10t}u(t)-5.

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