Determine as transformadas de Fourier das seguintes funçōes:
Y(\omega)=\frac{\delta(\omega)}{(j \omega+1)(j \omega+2)}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a transformada inversa de Fourier de
Y(\omega)=\frac{\delta(\omega)}{(j\omega+1)(j\omega+2)}.
O conteúdo principal é a propriedade do impulso de Dirac e a definição da transformada inversa de Fourier.

Passo 2

Usamos a propriedade \delta(\omega)\,g(\omega)=g(0)\,\delta(\omega).
Definindo g(\omega)=1/((j\omega+1)(j\omega+2)), temos
g(0)=\frac{1}{(j\cdot0+1)(j\cdot0+2)}=\frac{1}{2},
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Y(\omega) =\frac{\delta(\omega)}{(j\omega+1)(j\omega+2)} =\frac{1}{2}\,\delta(\omega).

Passo 3

Pela definição da transformada inversa
y(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}Y(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega,
substituímos Y(\omega)=\tfrac12\,\delta(\omega) e usamos \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega=1:
y(t) =\frac{1}{2\pi}\,\frac12 \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\,\frac12 =\frac{1}{4\pi}.

Passo 4

Concluímos que a função no domínio do tempo é uma constante igual a 1/(4\pi) para todo t.

Resposta

y(t)=\frac{1}{4\pi}.

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