Determine x(t) cujas transformadas de Fourier são dadas por
d) X(j omega)=2 pi e^-|omega| G2(omega)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a função X(jomega)=2pi,e^-|omega|;G2(omega) cuja transformada de Fourier é
x(t)=e(t)ast g(t),
Isso é assunto de Transformada de Fourier e da propriedade “multiplicação no F^-1e^-|omega|(t)=1pi,(1+t^2) ↔ convolução no ”.
O que precisamos:
  1. Saber que se , então
onde e são as inversas de e .
2) Saber a transformada inversa de :

Passo 2

Aplicando a propriedade de convolução:
se
X(jomega)=2pi,E(omega),G2(omega),
então
x(t)=e(t);ast;g2(t),
sem fatores extras, porque o “cancela” com o da inversa.

Passo 3

Agora a gente acha F^-1e^-|omega|(t) =1pi,(1+t^2) com e(t)=1pi,(1+t^2) .
É um par clássico:
Ou seja,

Passo 4

Portanto, a solução x(t) = l(east g2r)(t) = integral-infty^inftye(tau),g2(t-tau),dtau é a convolução de com :

Resposta

boxed x(t) =integral-infty^infty1pi,(1+tau^2);g2l(t-taur);dtau

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