Determine o(\mathrm{~s}) valor(es) máximo(s) e mínimo(s) local(is) e o(s) ponto(s) sela de cada função abaixo: g(z, w)=z w-2 z-w
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos de máximo(s) e mínimo(s) local(is) e os pontos de sela da função
g(z,w)=zw-2z-w.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar:
\text{domínio: }(z,w)\in\mathbb{R}^2\\ \text{(polinômio, portanto definido e }C^\infty\text{ em todo }\mathbb{R}^2).}
Queremos encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
O primeiro passo prático é calcular as derivadas parciais. Lembrete didático: a derivada parcial de g em relação a z é a derivada tratando w como constante; a derivada parcial em relação a w é análoga, tratando z como constante. Calculamos:
\frac{\partial g}{\partial z}=w-2,
\frac{\partial g}{\partial w}=z-1.
Essas duas expressões juntas formam o gradiente \nabla g(z,w).
Passo 3
Um ponto crítico satisfaz \nabla g(z,w)=0\). Então resolvemos o sistema
\[\begin{cases} w-2=0,\\[4pt] z-1=0. \end{cases}
Dessa equação obtemos
z=1,\qquad w=2.
Logo há um único ponto crítico: ((1,2)].]
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos o teste das segundas derivadas (Hessiana). Explicando a ideia: calculamos as segundas derivadas parciais e montamos a matriz Hessiana; então analisamos o determinante D da Hessiana:
D = g_{zz}\,g_{ww} - (g_{zw})^2.
As regras são: se D>0 e g_{zz}>0 então mínimo local; se D>0 e g_{zz}<0 então máximo local; se D<0 então ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.
Como D=-1<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico (1,2) é um ponto de sela. Portanto não é nem máximo local nem mínimo local.
Passo 7
Uma intuição alternativa (útil na prova): reescrever g deslocando para o ponto crítico. Observe que
g(z,w)=(z-1)(w-2)-2.
No ponto (1,2) o produto (z-1)(w-2) é zero e g(1,2)=-2. Se tomarmos (z,w)=(1+\delta,2+\delta) com \delta>0 pequeno, então (z-1)(w-2)=\delta^2>0 e g> -2. Se tomarmos (z,w)=(1+\delta,2-\delta), então (z-1)(w-2)=-\delta^2<0 e g< -2. Ou seja, existem direções onde g aumenta e outras onde g diminui ao redor de (1,2): isso é a assinatura de um ponto de sela.
Resposta
Ponto de sela: (1,2).
Não há máximos locais.
Não há mínimos locais.