Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
12 s-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a transformada inversa de Laplace da função 12s - 3. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades básicas das transformadas de Laplace e como aplicá-las para inverter uma função no domínio de s de volta para o domínio do tempo, representado por x.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que queremos inverter para facilitar a análise. Temos:
12s - 3
Podemos fatorar o denominador para deixar mais claro:
12(s - 32)
Isso ajuda a identificar uma forma padrão que conhecemos nas tabelas de transformadas de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma das transformadas básicas de Laplace. Sabemos que:
Le^at(s) = 1s - a
Essa é a transformada de Laplace da função exponencial e^at. Comparando com a nossa função, vemos que a = 32.

Passo 4

No entanto, na nossa função temos um fator extra de 12 na frente. Isso significa que a nossa função original é metade da transformada de Laplace de e^32x. Portanto, para encontrar a transformada inversa, precisamos considerar esse fator.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de ambos os lados da equação padrão, temos:
L^-11s - a(x) = e^ax
No nosso caso, substituindo a por 32:
L^-11s - 32(x) = e^32x

Passo 6

Mas lembre-se que nossa função original era 12(s - 32). Então, precisamos multiplicar a função inversa por 12:
L^-112(s - 32)(x) = 12 e^32x

Resposta

A transformada inversa de Laplace de 12s - 3 é:
y(x) = 12 e^32x

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