Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de
, das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades básicas das transformadas de Laplace e como aplicá-las para inverter uma função no domínio de
de volta para o domínio do tempo, representado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função que queremos inverter para facilitar a análise. Temos:
Podemos fatorar o denominador para deixar mais claro:
Isso ajuda a identificar uma forma padrão que conhecemos nas tabelas de transformadas de Laplace.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma das transformadas básicas de Laplace. Sabemos que:
Essa é a transformada de Laplace da função exponencial
. Comparando com a nossa função, vemos que
.
Passo 4
No entanto, na nossa função temos um fator extra de
na frente. Isso significa que a nossa função original é metade da transformada de Laplace de
. Portanto, para encontrar a transformada inversa, precisamos considerar esse fator.
Passo 5
Aplicando a transformada inversa de ambos os lados da equação padrão, temos:
No nosso caso, substituindo
por
:
Passo 6
Mas lembre-se que nossa função original era
. Então, precisamos multiplicar a função inversa por
:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: