Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
12(s+5)^4

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a transformada inversa de Laplace da função 12(s+5)^4, ou seja, queremos encontrar uma função x(t) tal que sua transformada de Laplace seja essa expressão. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada inversa de Laplace e utilizar algumas fórmulas básicas dessa matéria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo x(t) para uma função no domínio complexo X(s). A transformada inversa de Laplace faz o caminho contrário: ela nos dá a função no tempo x(t) a partir de sua transformada X(s).

Passo 3

Para encontrar a transformada inversa de 12(s+5)^4, vamos utilizar uma fórmula padrão da transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-11(s+a)^n = t^n-1 e^-a t(n-1)!
Aqui, a = 5 e n = 4. Portanto, substituindo esses valores na fórmula, temos:
L^-11(s+5)^4 = t^3 e^-5 t3!

Passo 4

Agora, como a nossa função é 12(s+5)^4, podemos multiplicar a transformação inversa que obtivemos por 12:
L^-112(s+5)^4 = 12 times t^3 e^-5 t6 = 2 t^3 e^-5 t

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função 12(s+5)^4 é:
x(t) = 2 t^3 e^-5 t

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