Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
1(s-2)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função 1(s-2)^3. Isso está dentro do conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a transformada inversa. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de Laplace e algumas fórmulas padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa é usada para descobrir a função original no domínio do tempo, a partir de sua representação no domínio de s. No nosso caso, queremos encontrar f(x) tal que:
Lf(x) = 1(s-2)^3

Passo 3

Sabemos que uma das fórmulas básicas para a transformada de Laplace é:
Lx^n = n!s^n+1
Mas nosso denominador não é simplesmente s^n+1, e sim (s-2)^3. Isso indica que há um deslocamento no s, o que significa que teremos uma exponencial envolvida na função inversa.

Passo 4

Existe uma propriedade que nos ajuda com esse deslocamento:
Le^atf(t) = F(s - a)
Aqui, a é 2 e F(s) é a transformada da função sem o deslocamento. No nosso caso, queremos inverter 1(s-2)^3, que se assemelha a F(s - a) com a = 2.

Passo 5

Então, primeiro vamos identificar F(s):
F(s) = 1s^3
Sabemos que:
Lx^2 = 2!s^3 = 2s^3
Então, ajustando para F(s) = 1s^3, temos que a função original sem o deslocamento é:
f(t) = t^22

Passo 6

Agora, aplicamos a propriedade do deslocamento. Como F(s - 2) corresponde a multiplicar por e^2t na função original:
L^-11(s-2)^3 = e^2t cdot t^22

Resposta

A transformada inversa de Laplace de 1(s-2)^3 é:
f(t) = t^22 , e^2t

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