Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de
, das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso está dentro do conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a transformada inversa. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de Laplace e algumas fórmulas padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa é usada para descobrir a função original no domínio do tempo, a partir de sua representação no domínio de s. No nosso caso, queremos encontrar
tal que:
Passo 3
Sabemos que uma das fórmulas básicas para a transformada de Laplace é:
Mas nosso denominador não é simplesmente
, e sim
. Isso indica que há um deslocamento no s, o que significa que teremos uma exponencial envolvida na função inversa.
Passo 4
Existe uma propriedade que nos ajuda com esse deslocamento:
Aqui,
é 2 e
é a transformada da função sem o deslocamento. No nosso caso, queremos inverter
, que se assemelha a
com
.
Passo 5
Então, primeiro vamos identificar
:
Sabemos que:
Então, ajustando para
, temos que a função original sem o deslocamento é:
Passo 6
Agora, aplicamos a propriedade do deslocamento. Como
corresponde a multiplicar por
na função original:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: