Determine as transformadas inversas de Laplace:
\quad \boldsymbol{\mathcal { L }}^{-1}\left(\frac{2+5 s}{s^{2}+9}+\frac{2 s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
\frac{2+5 s}{s^{2}+9}+\frac{2 s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}.
Informações dadas (já estão no enunciado):
  • A função a inverter é a soma de duas frações racionais em s: \dfrac{2+5 s}{s^{2}+9} e \dfrac{2 s}{(s^{2}+1)^{2}}.
  • Não há condições adicionais (por exemplo, deslocamentos ou multiplicações por exponenciais).

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a transformada de Laplace é linear, logo a transformada inversa também é linear. Isso significa que
\mathcal{L}^{-1}\!\left(F(s)+G(s)\right)=\mathcal{L}^{-1}\!\left(F(s)\right)+\mathcal{L}^{-1}\!\left(G(s)\right)
e constantes podem sair da transformada:
\mathcal{L}^{-1}\!\left(c\,F(s)\right)=c\,\mathcal{L}^{-1}\!\left(F(s)\right),
onde c é uma constante. Então podemos inverter cada termo separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Vou separar o primeiro termo em duas parcelas mais simples:
\frac{2+5 s}{s^{2}+9}=\frac{5 s}{s^{2}+9}+\frac{2}{s^{2}+9}.
Isto facilita usar transformadas conhecidas de seno e cosseno.

Passo 4

Recordando transformadas padrão (e explicando o que cada símbolo significa):
  • Para a>0 e variável tempo t,
\mathcal{L}\{\cos(a t)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\sin(a t)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui s é a variável da transformada (frequentemente complexa) e a é a frequência do seno/cosseno no domínio do tempo.
No nosso caso, para o denominador s^{2}+9 temos a^{2}=9, logo a=3. Assim:
  • \dfrac{s}{s^{2}+9} é a transformada de \cos(3t).
  • \dfrac{3}{s^{2}+9} é a transformada de \sin(3t).
Usando linearidade:
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{5 s}{s^{2}+9}\right)=5\cos(3t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{2}{s^{2}+9}\right)=\frac{2}{3}\sin(3t),
porque \dfrac{2}{s^{2}+9}= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{s^{2}+9} e \mathcal{L}^{-1}\!\left(\dfrac{3}{s^{2}+9}\right)=\sin(3t).

Passo 5

Agora lidamos com o segundo termo \dfrac{2 s}{(s^{2}+1)^{2}}. Para reconhecê-lo usamos a propriedade que relaciona multiplicação por t no tempo com derivada em s no domínio de Laplace:
\mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{d s}\! \big(F(s)\big),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Vou aplicar essa propriedade ao caso f(t)=\sin(a t) para obter a transformada de t\sin(a t).

Passo 6

Calcular \mathcal{L}\{t\sin(a t)\} por diferenciação:
  • Primeiro, \mathcal{L}\{\sin(a t)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}.
  • Diferenciando em s:
\frac{d}{d s}\!\left(\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right)=a\cdot\frac{d}{d s}\!\left((s^{2}+a^{2})^{-1}\right) = a\cdot\left(-1\right)\cdot (s^{2}+a^{2})^{-2}\cdot 2s = -\frac{2 a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
  • Pela propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{d s}F(s), obtemos
\mathcal{L}\{t\sin(a t)\}=-\left(-\frac{2 a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}\right)=\frac{2 a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 7

Aplicando o resultado do passo anterior com a=1 (porque em (s^{2}+1)^{2} temos a^{2}=1):
\mathcal{L}\{t\sin(t)\}=\frac{2\cdot 1\cdot s}{(s^{2}+1)^{2}}=\frac{2 s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{2 s}{(s^{2}+1)^{2}}\right)=t\sin(t).

Passo 8

Somando os resultados obtidos:
  • Da parcela \dfrac{5 s}{s^{2}+9} veio 5\cos(3t).
  • Da parcela \dfrac{2}{s^{2}+9} veio \dfrac{2}{3}\sin(3t).
  • Da parcela \dfrac{2 s}{(s^{2}+1)^{2}} veio t\sin(t).
Logo a transformada inversa total é a soma dessas três funções.

Resposta

5\cos(3t)+\dfrac{2}{3}\sin(3t)+t\sin(t)

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