Determine as transformadas inversas de Laplace:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas (já estão no enunciado):
- A função a inverter é a soma de duas frações racionais em
: e . - Não há condições adicionais (por exemplo, deslocamentos ou multiplicações por exponenciais).
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a transformada de Laplace é linear, logo a transformada inversa também é linear. Isso significa que
e constantes podem sair da transformada:
onde
é uma constante. Então podemos inverter cada termo separadamente e somar os resultados.
Passo 3
Vou separar o primeiro termo em duas parcelas mais simples:
Isto facilita usar transformadas conhecidas de seno e cosseno.
Passo 4
Recordando transformadas padrão (e explicando o que cada símbolo significa):
- Para
e variável tempo ,
Aqui
é a variável da transformada (frequentemente complexa) e
é a frequência do seno/cosseno no domínio do tempo.
No nosso caso, para o denominador
temos
, logo
. Assim:
-
é a transformada de . -
é a transformada de .
Usando linearidade:
porque
e
.
Passo 5
Agora lidamos com o segundo termo
. Para reconhecê-lo usamos a propriedade que relaciona multiplicação por
no tempo com derivada em
no domínio de Laplace:
onde
. Vou aplicar essa propriedade ao caso
para obter a transformada de
.
Passo 6
Calcular
por diferenciação:
- Primeiro,
. - Diferenciando em
:
- Pela propriedade
, obtemos
Passo 7
Aplicando o resultado do passo anterior com
(porque em
temos
):
Portanto
Passo 8
Somando os resultados obtidos:
- Da parcela
veio . - Da parcela
veio . - Da parcela
veio .
Logo a transformada inversa total é a soma dessas três funções.