Determine as transformadas inversas de Laplace:
\quad \boldsymbol{\mathcal { L }}^{-1}\left(\frac{3}{s^{2}+4}+\frac{4}{s+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racionais em s:
\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\!\left(\frac{3}{s^{2}+4}+\frac{4}{s+2}\right).
As informações relevantes fornecidas são os dois termos separados:
  • o primeiro termo é \dfrac{3}{s^{2}+4};
  • o segundo termo é \dfrac{4}{s+2}.
    A tarefa é encontrar a função f(t) (para t\ge 0) cuja transformada de Laplace é a soma acima.

Passo 2

Usaremos a propriedade de linearidade da transformada de Laplace, que diz que a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas, e que constantes podem sair da transformada. Formalmente:
\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\{F(s)+G(s)\}=\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\{F(s)\}+\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\{G(s)\}, \qquad \boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\{c\,F(s)\}=c\,\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\{F(s)\},
onde c é constante, s é a variável no domínio de Laplace e t é a variável do tempo (a função procurada é f(t)). Assim vamos tratar cada termo separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Lembrete de pares usuais de transformada (vou explicar cada símbolo):
  • Para uma constante a>0 e t como variável de tempo, vale
\boldsymbol{\mathcal{L}}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a é a frequência angular e s é a variável da transformada de Laplace. Invertendo essa relação obtemos
\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\!\left(\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right)=\frac{1}{a}\sin(at).
Aplicando isso ao primeiro termo: em \dfrac{3}{s^{2}+4} temos a^{2}=4, logo a=2. Portanto
\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\!\left(\frac{3}{s^{2}+4}\right) =3\cdot\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\!\left(\frac{1}{s^{2}+2^{2}}\right) =3\cdot\frac{1}{2}\sin(2t) =\frac{3}{2}\sin(2t).

Passo 4

Outro par padrão é para a exponencial deslocada:
\boldsymbol{\mathcal{L}}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a},
onde a é constante positiva (ou real). Invertendo:
\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\!\left(\frac{1}{s+a}\right)=e^{-a t}.
No segundo termo \dfrac{4}{s+2} vemos a=2. Pelo fator constante 4 temos
\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\!\left(\frac{4}{s+2}\right) =4\cdot\boldsymbol{\mathcal{L}}^{-1}\!\left(\frac{1}{s+2}\right) =4e^{-2t}.

Passo 5

Somando as duas partes (pelo passo 2, linearidade) obtemos a função tempo f(t):
f(t)=\frac{3}{2}\sin(2t)+4e^{-2t},\qquad t\ge 0.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): calcular a transformada direta de f(t):
\boldsymbol{\mathcal{L}}\!\left\{\frac{3}{2}\sin(2t)\right\}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{s^{2}+4}=\frac{3}{s^{2}+4},
\boldsymbol{\mathcal{L}}\{4e^{-2t}\}= \frac{4}{s+2}.
Somando dá exatamente \dfrac{3}{s^{2}+4}+\dfrac{4}{s+2}, logo a solução está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\sin(2t)+4e^{-2t}

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