Determine as transformadas inversas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racionais em
:
As informações relevantes fornecidas são os dois termos separados:
- o primeiro termo é
; - o segundo termo é
.
A tarefa é encontrar a função(para ) cuja transformada de Laplace é a soma acima.
Passo 2
Usaremos a propriedade de linearidade da transformada de Laplace, que diz que a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas, e que constantes podem sair da transformada. Formalmente:
onde
é constante,
é a variável no domínio de Laplace e
é a variável do tempo (a função procurada é
). Assim vamos tratar cada termo separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Lembrete de pares usuais de transformada (vou explicar cada símbolo):
- Para uma constante
e como variável de tempo, vale
Aqui
é a frequência angular e
é a variável da transformada de Laplace. Invertendo essa relação obtemos
Aplicando isso ao primeiro termo: em
temos
, logo
. Portanto
Passo 4
Outro par padrão é para a exponencial deslocada:
onde
é constante positiva (ou real). Invertendo:
No segundo termo
vemos
. Pelo fator constante
temos
Passo 5
Somando as duas partes (pelo passo 2, linearidade) obtemos a função tempo
:
Passo 6
Verificação rápida (confirmação): calcular a transformada direta de
:
Somando dá exatamente
, logo a solução está correta.