Determine as transformadas inversas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada inversa da função racional dada. Informações fornecidas:
- A função a inverter é
. - A tarefa é calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a expressão algébrica: fatorar o denominador para ver a forma das parcelas simples que costumam aparecer nas transformadas inversas.
Portanto podemos reescrever
Fazer essa fatoração é importante porque as transformadas inversas padrão têm forma
que vira
. Então queremos decompor a fração em somas de termos do tipo
.
Passo 3
Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Assumimos que existem constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Para encontrar
e
podemos usar o método de substituir valores convenientes de
.
Tomando
:
Tomando
:
Assim a decomposição é
Passo 4
Agora a parte de transformada inversa. Lembretes importantes (tabela básica e linearidade):
- A transformada inversa de
é , isto é
- A transformada inversa é linear, então constantes saem e somas separam:
Aplicando isso aos termos da fração parcial:
Passo 5
Somando os resultados (pela linearidade) obtemos a transformada inversa completa: