Determine as transformadas inversas de Laplace:
\quad \boldsymbol{\mathcal { L }}^{-1}\left(\frac{3+s}{s^{2}-s-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada inversa da função racional dada. Informações fornecidas:
  • A função a inverter é \displaystyle \frac{3+s}{s^{2}-s-2}.
  • A tarefa é calcular \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{3+s}{s^{2}-s-2}\right).

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a expressão algébrica: fatorar o denominador para ver a forma das parcelas simples que costumam aparecer nas transformadas inversas.
s^{2}-s-2 = (s-2)(s+1).
Portanto podemos reescrever
\frac{3+s}{s^{2}-s-2}=\frac{3+s}{(s-2)(s+1)}.
Fazer essa fatoração é importante porque as transformadas inversas padrão têm forma \dfrac{1}{s-a} que vira e^{at}. Então queremos decompor a fração em somas de termos do tipo \dfrac{A}{s-2}+\dfrac{B}{s+1}.

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Assumimos que existem constantes A e B tais que
\frac{3+s}{(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s+1) obtemos a identidade
s+3 = A(s+1) + B(s-2).
Para encontrar A e B podemos usar o método de substituir valores convenientes de s.
Tomando s=2:
2+3 = A(2+1) + B(0) \quad\Rightarrow\quad 5 = 3A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{5}{3}.
Tomando s=-1:
-1+3 = A(0) + B(-1-2) \quad\Rightarrow\quad 2 = B(-3) \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{2}{3}.
Assim a decomposição é
\frac{3+s}{(s-2)(s+1)}=\frac{5/3}{s-2} - \frac{2/3}{s+1}.

Passo 4

Agora a parte de transformada inversa. Lembretes importantes (tabela básica e linearidade):
  • A transformada inversa de \dfrac{1}{s-a} é e^{at}, isto é
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{1}{s-a}\right)=e^{at}.
  • A transformada inversa é linear, então constantes saem e somas separam:
\mathcal{L}^{-1}\!\left(C\cdot F(s)\right)=C\cdot \mathcal{L}^{-1}\!(F(s)),\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left(F_1(s)+F_2(s)\right)=\mathcal{L}^{-1}\!(F_1)+\mathcal{L}^{-1}\!(F_2).
Aplicando isso aos termos da fração parcial:
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{5/3}{s-2}\right)=\frac{5}{3}e^{2t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left(-\frac{2/3}{s+1}\right)=-\frac{2}{3}e^{-t}.

Passo 5

Somando os resultados (pela linearidade) obtemos a transformada inversa completa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{3+s}{s^{2}-s-2}\right)=\frac{5}{3}e^{2t}-\frac{2}{3}e^{-t}.

Resposta

\frac{5}{3}e^{2t}-\frac{2}{3}e^{-t}

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