Determine as transformadas inversas de Laplace:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
. - Pedido: encontrar a função
(para ) cuja transformada de Laplace é o racional dado.
Passo 2
Lembrando fórmulas básicas (úteis aqui) e o que cada símbolo significa:
- A transformada de Laplace de uma função
é . Aqui é a variável complexa da transformada e é o tempo (variável original). - Pares fundamentais que vamos usar:
Nas fórmulas acima,
e
são números reais;
corresponde ao deslocamento no eixo
(fator exponencial
) e
é a frequência da cosseno/seno.
Passo 3
Olhar o denominador e completar o quadrado para identificar a forma
.
Portanto o denominador já tem a forma
com
e
(pois
).
Passo 4
Reescrever o numerador em termos de
para ver as correspondências com os numeradores das fórmulas:
Logo
Passo 5
Separar em duas frações que se relacionam diretamente com os pares conhecidos:
Agora comparar com os pares:
-
. -
.
Portanto
Passo 6
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
Podemos fatorar
para ficar mais compacto:
Passo 7
Verificação rápida (checar que ao aplicar
voltamos ao original):
confirmando a solução.