Determine as transformadas inversas de Laplace:
\quad \boldsymbol{\mathcal { L }}^{-1}\left(\frac{3 s+12}{s^{2}+4 s+8}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{3s+12}{s^{2}+4s+8}\right).
  • Pedido: encontrar a função f(t) (para t\ge 0) cuja transformada de Laplace é o racional dado.

Passo 2

Lembrando fórmulas básicas (úteis aqui) e o que cada símbolo significa:
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt. Aqui s é a variável complexa da transformada e t é o tempo (variável original).
  • Pares fundamentais que vamos usar: \mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}
\mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}
Nas fórmulas acima, a e b são números reais; a corresponde ao deslocamento no eixo s (fator exponencial e^{-at}) e b é a frequência da cosseno/seno.

Passo 3

Olhar o denominador e completar o quadrado para identificar a forma (s+a)^{2}+b^{2}.
s^{2}+4s+8 = (s^{2}+4s+4)+4 = (s+2)^{2}+4.
Portanto o denominador já tem a forma (s+a)^{2}+b^{2} com a=2 e b=2 (pois 4=b^{2}\Rightarrow b=2).

Passo 4

Reescrever o numerador em termos de (s+2) para ver as correspondências com os numeradores das fórmulas:
3s+12 = 3\bigl((s+2)-2\bigr)+12 = 3(s+2)-6+12 = 3(s+2)+6.
Logo
\frac{3s+12}{s^{2}+4s+8} = \frac{3(s+2)+6}{(s+2)^{2}+2^{2}}.

Passo 5

Separar em duas frações que se relacionam diretamente com os pares conhecidos:
\frac{3(s+2)+6}{(s+2)^{2}+2^{2}} = 3\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+2^{2}} \;+\; 6\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+2^{2}}.
Agora comparar com os pares:
  • \displaystyle \frac{s+2}{(s+2)^{2}+2^{2}}=\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(2t)\}(s).
  • \displaystyle \frac{2}{(s+2)^{2}+2^{2}}=\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(2t)\}(s).
    Portanto
6\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+2^{2}} = 3\cdot\frac{2}{(s+2)^{2}+2^{2}} = 3\;\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(2t)\}(s).

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{3s+12}{s^{2}+4s+8}\right) = 3\,e^{-2t}\cos(2t) + 3\,e^{-2t}\sin(2t).
Podemos fatorar 3e^{-2t} para ficar mais compacto:
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{3s+12}{s^{2}+4s+8}\right)=3\,e^{-2t}\bigl(\cos(2t)+\sin(2t)\bigr),\quad t\ge 0.

Passo 7

Verificação rápida (checar que ao aplicar \mathcal{L} voltamos ao original):
\mathcal{L}\{3e^{-2t}(\cos2t+\sin2t)\} =3\left(\frac{s+2}{(s+2)^{2}+4}+\frac{2}{(s+2)^{2}+4}\right) =\frac{3(s+4)}{(s+2)^{2}+4}=\frac{3s+12}{s^{2}+4s+8},
confirmando a solução.

Resposta

3\,e^{-2t}\bigl(\cos(2t)+\sin(2t)\bigr)

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